蚌埠铁路中学
摘要:高三数学复习要重视课本,对课本中的例题习题要深入探究,寻找联系,总结归纳,合理改造利用。通过精研课本例题习题帮助学生更好掌握知识技能、建立知识架构、培养数学核心素养,提升高三数学学习效率。
关键词: 高三数学复习 课本例题习题
高三学生课程作业任务重且时间宝贵,授课教师应在复习过程中重视课本,带领学生回归课本。授课教师要结合班级学生学情,有针对性地精选高中数学课本例题习题,并加以科学提炼归纳,促进学生对课本各知识点的熟练,提高学生总结归纳串联各知识点的能力,提升高三数学复习效率。现对高三数学复习用好课本例题习题进行以下几点思考。
一.熟练知识点
高三数学复习的主要目的是掌握基本知识,熟练基本技能。课本中的例题和习题就是把基本知识和基本技能联系在一起的纽带,其中蕴含着处理一类问题的通性通法。因此,很有必要重做课本例题和习题,将课本中形异质同的例题和习题聚在一起,结成点,进行研究。揭示不同知识,知识与方法间的联系,提高学生解决一类问题的能力。下面我们以数列中通项 与前n项和
的关系为例。
1.(必修5习题1-2 B组第五题)
数列 的前n项和
,(1)试写出数列的前五项;(2)数列
是等差数列吗?(3)写出数列的通项公式。
本题是在学习了等差数列的概念和前n项和后及时进行的应用,这类问题的解决需要用到数列的通项 与前n项和
的关系,
,这一公式的运用是解决这一类问题的通法。在教学中,教师可以引导学生说出
,进而由学生总结出
与
的关系,进而求出通项公式。
2.(必修5复习题一 B组第三题)
是等差数列,
为前n项和,
,则下列说法错误的是() A. d<0 B.
C.
D.
与
均为
的最大值
在必修五第一章的课本复习题中,我们再次遇到了需要利用 与
的关系来解决的问题,通过前面的学习,学生已经掌握了这一通法,他们可以得到
,进而可以判断出
是递减数列,d<0,前6项和前7项的和最大,故选c.通过这道题目的再研究,使学生对
与
的关系的理解更加的深刻。
3.(2018全国卷1高考14题)
记 为数列
的前n项和。若
,则
__________。
4.(2015全国卷1高考17题)
为数列
的前n项和,已知
,
。(1)求
的通项公式。
与
的关系是数列中的重点内容,在很多试题中都出现过,同时也是高考考察的重点,比如2018全国卷1高考14题,2015全国卷1高考17题,都需要先利用
与
的关系求出
的表达式,再结合求和公式解决问题。课本中的很多例题习题,都能总结出一般的解题方法,提炼出数学思想。因此,在工作中,教师要善于发现,善于总结,努力提高工作能力,提高教学效率。
将知识点串联成线
在高一高二阶段,学生学习的知识是零散的,在高三复习阶段,一个重要的任务是将这些相关的知识点串联起来,形成有机的知识链。帮助学生理清知识间的联系,总结规律,发现数学本质,使学生可以以更高的观念审视问题,更灵活的方法解决问题。
由三角函数的定义可知: ,当角的终边经过点
时,根据三角函数的定义可以得到
,联系同角三角函数关系式
,我们可以得到直线,圆,椭圆的参数方程。若
表示直线的倾斜角,令r=t,t为参数,可得直线
的参数方程为
(t为参数);以
为参数,r为半径,可以得到圆
的参数方程为
(
为参数);以
为参数,还可以得到椭圆
的参数方程为
(
为参数)。在解析几何中参数方程是解决轨迹问题、最值问题、距离问题的重要工具,同时利用三角函数还可以解决很多极坐标中诸如坐标转化的问题。这些实际上都是三角函数和同角三角函数关系式
的应用。因此在复习中,可将上述内容串联起来,形成有机的知识链,使学生深刻体会到知识间的联系。利用参数方程可以很便捷的解决下面一组例题的问题。
(选修4-4 P28例1)在椭圆 上求一点M,使点M到直线
的距离最小,并求出最小距离。
(选修4-4 P39习题1)设直线l经过点M0 (1,5)、倾斜角为 。(1)求直线l的参数方程;(2)求直线l和直线
的交点到点M0的距离;(3)求直线l和圆
的两个交点到点M0的距离的和与积。
3.(2019高考天津卷)设 ,直线
和圆
为参数
相切,则a的值为______.
4(2019新课标1)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数),直线l的极坐标方程为
.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.
三角函数是北师大必修四的代数内容,参数方程是人教版选修4-4的解析几何部分的内容,学生在前期的学习中时间上有差异,知识链衔接不起来,对参数方程相关内容理解不深刻。如果能将这两部分内容串联起来,让学生感受到参数方程实际上是三角函数定义的延伸,心理上更容易接受,使用时也更加流畅。也能让学生感受到不同的数学知识间的联系和数学世界的奇妙。在高三复习的过程中,如果能将散落在各处的相关的知识点联系起来,形成知识链,定能事半功倍,有效地提高教学效率。
完善知识网络汇成面
在知识的交汇点处命题是高考的一个重要特点。因此高考复习的一个主要目的是完善知识网络。回归课本时,要充分挖掘知识间的纵横联系,抓住主干,编织分支,构建知识网络。求动点的轨迹方程问题是高考的一个重要考点,与轨迹方程相关的内容有直线、圆、椭圆、双曲线、参数、平面几何等等,轨迹方程的求法包括待定系数法、参数法等方法。而它的本质是将形转化为数,将曲线转化为方程。抓住这一主干,问题就迎刃而解了。下面看一组课本上的例题和习题。
(选修2-1P37习题3)两个定点的距离是6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程。
(必修2P86问题1)点P在圆O运动,Q是定点,取PQ 中点M,当点P在圆O上运动时,求M点的轨迹?
(选修2-1P50习题B组2)一动圆与圆 外切,同时与圆
内切,求动圆圆心的轨迹方程。
4.(选修4-4P42习题3)有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一点M,与轮子中心的距离是b(b
问题1(2019年2卷21题)已知点A(-2,0),B(2,0).动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 。记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线。
问题2(2017年2卷20题)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: 上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点p满足
.(1)求点P的轨迹方程。
很多高考试题都源于课本,高三复习要回归课本,溯本求源。教师和学生应潜心研究教材,深入挖掘课本例题和习题的潜能,适当调整,合理利用,总结规律,提炼思想方法,构建知识网络。