高三数学复习用好课本例题习题的几点思考

高三数学复习用好课本例题习题的几点思考

朱莎

蚌埠铁路中学

摘要:高三数学复习要重视课本，对课本中的例题习题要深入探究，寻找联系，总结归纳，合理改造利用。通过精研课本例题习题帮助学生更好掌握知识技能、建立知识架构、培养数学核心素养，提升高三数学学习效率。

关键词： 高三数学复习 课本例题习题

高三学生课程作业任务重且时间宝贵，授课教师应在复习过程中重视课本，带领学生回归课本。授课教师要结合班级学生学情，有针对性地精选高中数学课本例题习题，并加以科学提炼归纳，促进学生对课本各知识点的熟练，提高学生总结归纳串联各知识点的能力，提升高三数学复习效率。现对高三数学复习用好课本例题习题进行以下几点思考。

一．熟练知识点

高三数学复习的主要目的是掌握基本知识，熟练基本技能。课本中的例题和习题就是把基本知识和基本技能联系在一起的纽带，其中蕴含着处理一类问题的通性通法。因此，很有必要重做课本例题和习题，将课本中形异质同的例题和习题聚在一起，结成点，进行研究。揭示不同知识，知识与方法间的联系，提高学生解决一类问题的能力。下面我们以数列中通项 与前n项和 的关系为例。

1.（必修5习题1-2 B组第五题）

数列 的前n项和 ，（1）试写出数列的前五项；（2）数列 是等差数列吗？（3）写出数列的通项公式。

本题是在学习了等差数列的概念和前n项和后及时进行的应用，这类问题的解决需要用到数列的通项 与前n项和 的关系， ，这一公式的运用是解决这一类问题的通法。在教学中，教师可以引导学生说出 ，进而由学生总结出 与 的关系，进而求出通项公式。

2.（必修5复习题一 B组第三题）

是等差数列， 为前n项和， ，则下列说法错误的是（） A. d<0 B. C. D. 与 均为 的最大值

在必修五第一章的课本复习题中，我们再次遇到了需要利用 与 的关系来解决的问题，通过前面的学习，学生已经掌握了这一通法，他们可以得到 ,进而可以判断出 是递减数列，d<0,前6项和前7项的和最大，故选c.通过这道题目的再研究，使学生对 与 的关系的理解更加的深刻。

3.（2018全国卷1高考14题）

记 为数列 的前n项和。若 ，则 __________。

4.（2015全国卷1高考17题）

为数列 的前n项和，已知 ， 。（1）求 的通项公式。

与 的关系是数列中的重点内容，在很多试题中都出现过，同时也是高考考察的重点，比如2018全国卷1高考14题，2015全国卷1高考17题，都需要先利用 与 的关系求出 的表达式，再结合求和公式解决问题。课本中的很多例题习题，都能总结出一般的解题方法，提炼出数学思想。因此，在工作中，教师要善于发现，善于总结，努力提高工作能力，提高教学效率。

2. 将知识点串联成线

在高一高二阶段，学生学习的知识是零散的，在高三复习阶段，一个重要的任务是将这些相关的知识点串联起来，形成有机的知识链。帮助学生理清知识间的联系，总结规律，发现数学本质，使学生可以以更高的观念审视问题，更灵活的方法解决问题。

由三角函数的定义可知： ，当角的终边经过点 时，根据三角函数的定义可以得到 ，联系同角三角函数关系式 ，我们可以得到直线，圆，椭圆的参数方程。若 表示直线的倾斜角，令r=t,t为参数，可得直线 的参数方程为 （t为参数）；以 为参数，r为半径，可以得到圆 的参数方程为 （ 为参数）；以 为参数，还可以得到椭圆 的参数方程为 （ 为参数）。在解析几何中参数方程是解决轨迹问题、最值问题、距离问题的重要工具，同时利用三角函数还可以解决很多极坐标中诸如坐标转化的问题。这些实际上都是三角函数和同角三角函数关系式 的应用。因此在复习中，可将上述内容串联起来，形成有机的知识链，使学生深刻体会到知识间的联系。利用参数方程可以很便捷的解决下面一组例题的问题。

1. （选修4-4 P28例1）在椭圆 上求一点M，使点M到直线 的距离最小，并求出最小距离。

2. （选修4-4 P39习题1）设直线l经过点M₀ (1,5)、倾斜角为 。（1）求直线l的参数方程；（2）求直线l和直线 的交点到点M₀的距离；（3）求直线l和圆 的两个交点到点M₀的距离的和与积。

3.（2019高考天津卷）设 ，直线 和圆 为参数 相切，则a的值为______．

4（2019新课标1）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），直线l的极坐标方程为 ．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．

三角函数是北师大必修四的代数内容，参数方程是人教版选修4-4的解析几何部分的内容，学生在前期的学习中时间上有差异，知识链衔接不起来，对参数方程相关内容理解不深刻。如果能将这两部分内容串联起来，让学生感受到参数方程实际上是三角函数定义的延伸，心理上更容易接受，使用时也更加流畅。也能让学生感受到不同的数学知识间的联系和数学世界的奇妙。在高三复习的过程中，如果能将散落在各处的相关的知识点联系起来，形成知识链，定能事半功倍，有效地提高教学效率。

2. 完善知识网络汇成面

在知识的交汇点处命题是高考的一个重要特点。因此高考复习的一个主要目的是完善知识网络。回归课本时，要充分挖掘知识间的纵横联系，抓住主干，编织分支，构建知识网络。求动点的轨迹方程问题是高考的一个重要考点，与轨迹方程相关的内容有直线、圆、椭圆、双曲线、参数、平面几何等等，轨迹方程的求法包括待定系数法、参数法等方法。而它的本质是将形转化为数，将曲线转化为方程。抓住这一主干，问题就迎刃而解了。下面看一组课本上的例题和习题。

1. （选修2-1P37习题3）两个定点的距离是6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程。

2. （必修2P86问题1）点P在圆O运动，Q是定点，取PQ 中点M,当点P在圆O上运动时，求M点的轨迹？

3. （选修2-1P50习题B组2）一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程。

4.（选修4-4P42习题3）有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M,与轮子中心的距离是b（b

在高三复习过程中，可以将以上课本中求轨迹方程的问题放在一起讨论。虽然这些问题安排在课本的不同位置，可是它们的根本目的都是根据知识间的联系确定变量间的关系，找到曲线的方程。因此只需在轨迹方程的知识网络中寻求合适的解决的办法即可。上面的例子可以利用直接法、参数法、定义法、相关点法、几何法等方法解决。在求解的过程中，不仅包括知识的交叉，还渗透了数学结合，转化回归等数学思想。数学知识具有系统性，在教学过程中，教师和学生要善于发现知识间的联系，善于总结解决问题的规律。以下两道求轨迹方程的高考真题就源于课本。

问题1（2019年2卷21题）已知点A(-2,0),B(2,0).动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为 。记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线。

问题2（2017年2卷20题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C: 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点p满足 .(1)求点P的轨迹方程。

很多高考试题都源于课本，高三复习要回归课本，溯本求源。教师和学生应潜心研究教材，深入挖掘课本例题和习题的潜能，适当调整，合理利用，总结规律，提炼思想方法，构建知识网络。

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