指向知识内在逻辑关系的单元整体教学设计的思考——以“平行四边形”单元教学为例

指向知识内在逻辑关系的单元整体教学设计的思考——以“平行四边形”单元教学为例

魏学珍

西安市曲江第二中学

陕西省西安市    710000

《义务教育数学课程标准》（2022年版）明确指出，数学知识的教学要注重知识的“生长点”与“衍生点”，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。在教学时选择能引发学生思考的教学方式，重视单元整体教学设计，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。

数学知识的内在逻辑关系是数学的本质之一，无论是同一数学知识体系内还是不同知识体系间的数学知识，它们之间要么具有相似的、一致的结构与特征，要么存在着千丝万缕的逻辑关系。学生掌握这些逻辑关系才能透过一个个具体的知识点的表面，才能对数学教学内容的整体理解与把握，提高自身的核心素养。本文以北师大版教材八年级下册“平行四边形”与九年级上册“特殊平行四边形”为例，阐述指向知识内在逻辑关系的单元整体教学设计的实践与思考。

一、教学本质分析

“图形与几何”是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，初中学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形，从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系。

“平行四边形”体现了研究四边形的一般规律,平行四边是是特殊的四边形，而菱形、矩形和正方形又是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的矩形和菱形，所以研究平行四边形是从一般到特殊的思路发现研究对象。而每一种平行四边形都是从定义、性质、判定三个方面进行研究。每种特殊的平行四边形的定义都反映了该图形与一般平行四边形的某种特殊关系；性质都是从图形的对称性、边、角和对角线之间的位置与数量关系这几个方面去反映图形的特征；判定都是利用性质从一般四边形到（特殊）平行四边形或从平行四边形到（特殊）平行四边形的证明过程，判定的条件都来源于性质，判定与性质互为逆命题。

每种图形的学习，都是立足学生的生活经验和已有的数学活动经验，创设恰当的问题情境，让学生经历探索、发现、猜想、证明的完整过程，发展合情推理和演绎推理的能力。通过实例引入定义，逐步探索图形有关的性质和判定，每一个图形的判定都是从性质提供的特征出发，猜想判定的条件，再通过演绎推理证明猜想的正确性。

将平行四边形与前面已经学过直线、三角形以及将要学习的圆等知识进行对比，发现平行四边形与这些几何图形在研究对象、研究内容、研究方法方面都具有相似性。因此，平行四边形的研究规律体现了研究一个几何图形的研究规律，此研究规律不仅是学生学习几何图形的重要经验，也能帮助学生掌握平面几何知识之间的内在逻辑关系，落实几何直观和空间观念等核心素养。

二、单元教学内容

课标中给义务教育学段安排了“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域。其中，平行四边形属于（7~9年级）学段“图形与几何”领域的学习内容，图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题。平行四边形在义务教学阶段数学课程中占据重要地位，且在平行线和三角形的基础上进一步研究的；通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，感受这些知识之间的内在逻辑关系；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理。

对于任何一个数学知识，其研究结果只体现了“是什么”，但是对知识的理解还要思考知识如何发生、怎样得出、有何作用等问题，也就是知识的本质以及内在的逻辑关系。

为什么要研究平行四边形呢？数学来源于生活，首先，现实生活中大量事物蕴含着平行四边形；其次，平行四边形是最简单、最基本的多边形，对于多边形的学习也需要从简单到复杂、从一般到特殊地对其他多边形进行研究。平行四边形的定义描述了平行四边形的本质特征，但又不能全面的描述平行四边形的特征，所以需要对平行四边形的性质展开研究，用定义来判定平行四边形是有局限性的，因此对判定的研究也是非常必要的。菱形、矩形和正方形的定义都是通过归纳、概括以及平行四边形的基础上增加条件得出的；其性质是通过边、角、对角线以及对称性之间的关系进行猜想、证明确立的；判定的条件又源于性质。定义既是性质也是判定，性质描述了图形的特征，判定丰富了证明的方法。

平行四边形全章贯穿了转化、化归、推理、建模和分类讨论等基本的数学思想。我们通过连接平行四边形对角线，把平行四边形化归为两个全等的三角形，运用全等三角形的性质得出平行四边形的性质。在矩形性质的学习中，自然推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，把直角三角形中的问题转化为矩形中的问题，用矩形的性质进行证明，得出结论。

三、基于知识内在逻辑关系的单元教学思路

将“平行四边形”作为大单元，“平行四边形的定义”、“平行四边形的性质”、“平行四边形的判定”、“复习与拓展”作为各小单元。第一个分单元的内容首先整体研究平行四边形，再由一般的平行四边形发现菱形、矩形和正方形，最后确定平行四边形、菱形、矩形和正方形的定义；第二个分单元研究平行四边形、菱形、矩形和正方形的性质（包括共性和个性）；第三个分单元研究平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定；第四个分单元对全章进行总结并拓展。以上设计思路是基于“平行四边形”的数学本质，将教学内容有机整合，让学生感受平行四边形、菱形、矩形和正方形的定义、性质和判定知识之间的逻辑关系，体会几何图形的探究过程，形成用几何的眼光看待图形世界、用结合的思维分析图形世界、用几何的语言表达图形世界的数学素养。

四、基于知识内在逻辑关系的单元教学建议

1. 平行四边形与特殊平行四边形的概念、性质定理和判定定理较多，且概念与概念、性质定理与性质定理、判定定理与判定定理之间存在着内在逻辑关系，关系复杂。由于平行四边形和各特殊平行四边形的知识之间重叠交错，容易混淆，弄清它们之间的逻辑关系、共性、特性和从属关系非常重要。教学时，不仅要讲清特殊平行四边形的特殊性质，还要强调它们与平行四边形性质的关系和共同性质。也就是说，在讲清每个知识特征的同时，强调知识之间的关系。弄清知识之间内在逻辑关系，可以用图示的方法。为了进一步明确平行四边形和特殊平行四边形的相关关系，还可对概念、性质定理和判定定理进行分类，也是明确概念、性质定理和判定定理的逻辑方法。通过分类，可以帮助学生更好地掌握概念、性质定理和判定定理，理清相关知识间内在逻辑关系，让学生注意这些知识之间的联系与区别，进一步体会分类思想。
2. 平行四边形与特殊平行四边形这一单元处于学生掌握了推理论证方法的基础上，进一步巩固和提高的阶段。所以教学中要重视推理论证的教学，进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力。让学生经历“探索—发现—猜想—证明”的完整过程，对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明外，还要让学生由已有的结论对图形的性质通过推理论证得出。在有关证明的教学中，教师为学生的积极思考创造条件，鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法；学生在理解知识之间内在逻辑关系的基础上，与他人的交流中比较证明方法的异同，提高推理论证水平。

     不管是传统的课时教学还是单元教学，都要注重知识间内在的逻辑关系，在分析数学内容本质的前提下进行教学设计。单元教学设计还要关注数学知识内容，知识结构的完整性，遵循学生认知特点的一致性，基于知识间内在逻辑关系上串联单元知识、并联数学思想，用类比的方法引导学生开展自主探究。培养学生分析解决问题的能力，形成整理意识、注重逻辑关系，落实数学科学素养.