GPS（全球定位系统）高程拟合代替三等水准可行性研究

一、引言
GPS（全球定位系统）能够提供WGS-84坐标系下的精确三维坐标，通过坐标转换以后也能提供精度相当的平面坐标。而在高程方面，GPS（全球定位系统）高程能否达到等级水准测量的精度，还是人们探讨的一个课题。GPS（全球定位系统）测量得到的高是大地高，即地面点沿法线方向到参考椭球面的距离，这与我们常用的水准高程之间存在一个高程异常，为此，我们要通过GPS（全球定位系统）高程得到精度相对较高的水准高程就必须获得高精度的GPS（全球定位系统）大地高和当地的高程异常。实际上，GPS（全球定位系统）测高主要包括三个方面：
（1）使用GPS（全球定位系统）测量椭球高；
（2）运用一个大地水准面模型；
（3）将最终要得到的正常高(或正高)拟合到高程基准面上。
以上三个方面限制了运用GPS（全球定位系统）测量高程，它们依GPS（全球定位系统）测量的范围不同而影响大小也不一样。在一般的外业观测中，影响GPS（全球定位系统）三维坐标的因素主要有以下一些：
1.观测信号方面的影响
（1）相位整周模糊度解算是否可靠直接影响三维坐标。
（2）多路径效应的影响分为直接的或间接的，并能对三维坐标产生分米级的影响。间接影响是指影响求解整周模糊度。在有足够的观测时间时，卫星几何位置的变化将能通过平均将其影响减小，然而当观测时间较短时，多路径效应影响将变得很大。尽管硬件和软件能降低多路径效应影响，选择好的站点避免多路径效应以及增加多余观测以发现残差的影响仍然是很重要的。
（3）电离层也对三维坐标产生影响。电离层的影响在基线长于20km时将变得很大，双频观测向量能消去大部份的电离层影响。这种影响在地极处以及地球赤道附近要比其他地方大些并随太阳周期变化而变化。因此，在某些地区和某个时间，电离层的影响很大，特别是对于单频接受机。即使对于短边，对流层延迟也将产生很大的影响，可达到几厘米。
（4）天线高是一个明显的误差来源。如果使用三角架，由于高度经常变化，所以外业要求必须对天线高测量进行检查。而且在量取仪器高度的时候，所得地面点到仪器的高度是斜距，并不是二者的垂直距离。如果使用仪器本身配带的具有改正系数的尺子可以减小这种误差，大多数情况下这种误差的影响是很大的。
2.大地水准面模型方面的限制
GPS（全球定位系统）测量得到的是椭球高(H)，为了获得正常高(H正常)，我们需知道当地精确的高程异常值(ζ)。对长距离，GPS（全球定位系统）测量也能非常有效地得到椭球高，但会遇到大地水准面和高程基准面方面的问题。为了提高高程精度，可以通过计算当地大地高模型并采用内插技术。精度的好坏取决于当地重力值的可靠程度。在高差很大，地质情况复杂的地区，大地水准面模型精度会很低，选择适当的参考椭球和投影面可以提高这方面的精度。
随着现代GPS（全球定位系统）接收机技术的发展和GPS（全球定位系统）数据处理软件的不断完善，相位整周模糊度解算、多路径效应的影响、电离层对三维坐标产生影响、天线高等影响GPS（全球定位系统）三维精度的因素可以有效减小，选择一个合适的方法和高程投影面，在范围不大的地区，GPS（全球定位系统）高程是可以到达相应等级水准测量的精度。
二、常用高程系统介绍
高程测量是GPS（全球定位系统）测量的重要组成部分，在GPS（全球定位系统）相对定位中，所求得的三维基线向量，通过GPS（全球定位系统）网平差，可求得精密的WGS-84大地高差，再通过坐标转换，求得精密的国家或地区参考椭球的大地高差，如果已知网中一个或多个点的大地高程，就可以求得各GPS（全球定位系统）点的大地高。为了找出GPS（全球定位系统）高程系统与其他高程系统的关系，下面介绍几种常用的高程系统及他们的关系。
（1）大地高高程系：大地高高程系统是以参考椭球面为基准面的高程系统，地面某点的大地高程H定义为由地面点沿通过该点的椭球法线到椭球面的距离。GPS（全球定位系统）定位测量获得的是WGS-84椭球大地坐标系中的成果，也就是说GPS（全球定位系统）测量求得的是相对于WGS-84椭球的大地高程。由大地高程的定义可知，它是一个几何向量，不具有物理意义。不难理解，不同定义的椭球大地坐标系构成不同的大地高程系统。
（2）正高高程系：正高高程系统以大地水准面为基准面的高程系统。地面上任一点的正高高程即该点沿垂线方向至大地水准面的距离，地面上某一点B点的正高可表示为：
（4-1）
式中gmB为B点到大地水准面的的垂线上的重力加速度的平均值，其值不能精确测定；∫gdh表示过B点的水准面与大地水准面间的位能差，不随积分路线而异。
（3）正高高程的性质：
A：地面任一点的正高不随水准测量路线的不同而有差异，是唯一确定的值，可用来表示地面的高程；
B：由于gmB不能精确获得（包括测定及由公式推导），故严格来说地面上任一点的正高高程不能精确求得；地面点的正高（H正）是该点至大地水准面的铅垂距离，也叫绝对高程或海拔。地面上某点的正高定义为由地面点沿铅垂线至大地水准面的距离。

（4）正常高高程系：正常高是将正高系统中不能精确获得的平均重力加速度gmB用正常重力γmB代替得到的另一种系统的高程；其公式表达为：
（4-2）
式中g可由沿水准测量路线的重力测量而得；γmB按正常重力公式算得的重力平均值，其数值不随水准路线不同而异，为唯一确定值；实际上，工程应用中所使用的正常高并不是依据上述方法计算得出，而是通过水准测量或通过高程转换获得。
正常高高程系统以似大地水准面为基准面的高程系统。在实际应用的高程测量中，地面点的高程采用正常高系统。地面点的正常高H是该点至似大地水准面的铅垂距离；而GPS（全球定位系统）所测高程为地面点沿通过该点的椭球法线到椭球面的距离，二者之间存在一个高程异常N，所以在使用时要把地面点的大地高H转换为正常高H正常。二者的关系为
H正常=H-N （4-3）
式中：H表示大地高，N称为高程异常。我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。我国的国家高程基准面是根据青岛验潮站1952-1979年19年间的验潮资料计算确定，根据这个高程基准面作为全国高程的统一起算面。在“1985国家高程基准”系统中，我国水准原点的高程为72.260米。

图4-1：大地高与正常高关系示意图
三、GPS（全球定位系统）高程拟合模型及精度分析
通过前面的介绍我们已经知道，GPS（全球定位系统）测量可以提供高精度的WGS－84坐标系下的大地高，但这不是我们使用的正常高。要将GPS（全球定位系统）大地高用于工程测量中，需进行高程的转换。目前，GPS（全球定位系统）高程转换到正常高的方法很多，如GPS（全球定位系统）三角高程、GPS（全球定位系统）重力高程、曲面拟合法、绘等值线图法、解析内插法等一系列方法。它们的转换方法不同，所能达到的精度也有差异，根据具体工程应用的条件和各种方法所能达到的精度，各种方法都在具体工程中得到了实践。在实际工程应用中最常用的是GPS（全球定位系统）水准，即利用已知几何水准点或达到水准等级精度的高程控制点和GPS（全球定位系统）点联测，然后通过高程拟合实现GPS（全球定位系统）高程到正常高的转换，或通过这些数据拟合出测区所在区域的似大地水准面。GPS（全球定位系统）水准测量的高程转换方法有绘等值线图法、解析内插法、曲线拟合法，曲面拟合法等。这许多种方法各自不同的转换思想、转换条件、数学模型和难易程度决定了适合应用于哪一类工程和所能达到的转换精度。
GPS（全球定位系统）高程拟合模型及精度分析
（1）平面拟合模型及精度分析
平面拟合函数模型为：Ni=f (Bi,Li)=f1+f2*Bi+f3*Li
当已知点数大于3个时，可列出误差方程：
Vi=f (bi,li)=f1+f2*bi+f3*li-ξ
将（2）式写矩阵形式为：
V=BX-ζ
式中V=[ν1,ν2,ν3]T
ξ=[ξ1,ξ2,ξ3]T
B=[f1,f2,f3]T

根据最小二乘原理，B=(XTX)-1Xξ,求得模型转换参数为：

（2）二次曲面拟合及精度分析
Ni=f (Bi,Li)=f1+f2*Bi+f3*Li+f4*Bi2+f5*Li2+f6*Bi*Li(1)
（f1,f2,f3,f4,f5,f6为模型参数）
当已知点数大于6个时，可列出相应的误差方程：
Vi=f1+f2*bi+f3*li+f4*bi2+f5*li2+f6*bi*li-ξi （2）
将（2）式写矩阵形式为：
V=BX-ζ（3）
式中V=[ν1,ν2,ν3,ν4,ν5,ν6]T
ξ=[ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5,ξ6]T
B=[f1,f2,f3,f4,f5,f6]T

根据最小二乘原理，B=(XTX)-1Xξ。由观测数据根据以上模型

求得模型转换参数为：

为验证两种模型的可靠性和精度，我们依托京沪高速铁路精测网，选取了约30km长的一段进行实验。本实验段位于济南张夏至泰安，是京沪线全线海拔最高的地区，属鲁中南丘陵地区。本段共21个水准点，全部进行了二等水准测量。外业测量采用trimble5800双频接收机按照铁路C级网要求进行观测，分别采用平面拟合跟曲面拟合模型进行计算，计算结果和二等水准测量成果进行对比。为了客观地反映两种模型拟合的精度，对拟合后的高差进行比较，以相应等级的水准测量的闭合差限差为标准，结果如下：
表1：平面模型拟合高差比较表

表2：平面模型拟合精度

表3：二次曲面模型拟合高差比较

四、两种拟合模型精度评定
从表2和表4可以看出，二次曲面拟合的内符合精度和外符合精度都明显高于平面拟合的精度；若比较GPS（全球定位系统）拟合高差和二等水准测量高差，以相应等级的水准测量的闭合差限差为标准，根据表1和表3的统计结果，同样是二次曲面拟合精度要高于平面拟合精度，根据本项目的实验结果，二次曲面拟合精度是能够达到三等水准测量的精度。需要特别指出的是，平面拟合精度虽然达不到三等水准测量精度，但是代替四等水准测量，精度还是有保证的。

表4：二次曲面模型拟合精度

五、结束语
GPS（全球定位系统）测量已能够提供毫米级的平面坐标，但因似大地水准面与参考椭球面的差距，使得高精度的GPS（全球定位系统）大地高不能直接运用于生产实践。如何将GPS（全球定位系统）大地高转化成水准高程，并使其保持一定的精度，一直是人们研究的焦点。随着现代GPS（全球定位系统）技术硬件和软件和不断完善及数据处理方法的改进，人们在GPS（全球定位系统）高程拟合方面做了大量的工作，从本文实验的结果并结合前人研究的理论来看：
1.在小范围内，地势起伏不是很大的地区，选择合适的数学模型，GPS（全球定位系统）高程拟合可以达到三等水准测量的精度；
2.已知点的选取对拟合的精度影响很大，因此已知点应该尽量选取均匀点位。
3.一般来说，采用相同的拟合方法，起算点数量越多、分布越均匀，则拟合精度越高，但也并非如此。因此应根据测区实际情况选合理选择拟合起算点的个数。对含有不同地形趋势的大测区，应采用分区计算的方法。
4.由于高程异常的确定不仅取决于地球内部的密度变化,还取决地形起伏等各种因素。因此,用一种数学函数去拟合测区内给定的高程异常点,其模型误差是不可避免的,选取模型误差较小的拟合方程来描述其高程异常分布只是一种相对合理的方法。
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（作者单位：胜利油田信科海洋勘察测绘有限公司 山东东营 ）