有关定点转动的一个证明-中国期刊网

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（整期优先）网络出版时间：2012-12-28

作者: 翟明星蒋永进

社会学

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摘要：本文给出了刚体的定点转动在任意时刻可以看作定轴转动的一个代数法证明。
关键词：刚体定点转动定轴转动
一、引言
在课本[1]上我们学到，刚体的定轴转动就是在每一个瞬间，刚体上的每一个点都在绕着一根固定不变的轴作刚性旋转；另外，若刚体内只有一个点始终保持不动，这种转动我们称之为定点转动。
定点转动和定轴转动的不同之处在于转动轴只通过一个定点,转轴在空间的取向随着时间的改变而改变, 所以不能只考虑一个和固定轴相垂直的平面的运动。定点转动是一个三维空间的问题, 比定轴转动要复杂[1、2、3、4]。
参照一些理论力学的其他教材[2、3、4]，我们了解到有关定点转动的一个定理：不论刚体绕定点怎样运动，它在不同时刻的两个位型都可以用绕通过定点的某轴线的一次转动来实现。该轴线称为有限转动的转轴。如果考虑时间间隔很短，前后两个刚体位型很接近时，此转轴称为瞬时转轴。于是，刚体的定点转动在任一时刻可以看做一定轴转动。
关于瞬时转轴的存在性，在目前很多书中，都是从几何的直观方式进行论证的。在本文中，我们给出一个代数推导，从一个方面加深大家对刚体这一重要性质的理解。
二、推导与证明
以定点为坐标原点O，考虑刚体中任意两点。由于是刚体的定点转动,在任一时刻t，应有：其中c1,c2是不依赖于时间的常数。对于固定长度的矢量，其速度必可取如下形式：

（1）
一般地，我们可以假定，是依赖于的角速度。我们的目标，是要证明即角速度与位置无关。此时，的方向即为瞬时转轴的方向。注意到，刚体上的任意两点相对定点O的矢量夹角，即的夹角在转动下不变，即：
（2）

利用矢量分析公式：可得：
（3）

因此，一般地，有：（三个矢量的混合积为平行六面体的体积，只有三矢量共面时，混合积为零），其中a,b为常数。再考虑的任意性，必有：

（4）
其中为没有坐标依赖的常矢量。由于完全是由（1）式定义的，在不影响任何物理结果的情况下，可取：。所以。
由（1）式，代表瞬时转动角速度，其方向所在直线即为瞬时转轴。因此，我们就从刚体的性质（2）式出发，用代数关系严格证明了瞬时转轴的存在。
三、结束语
在本文中，我们用矢量代数的方法证明了，在定点转动下的任意时刻，刚体的运动可以看作绕通过定点的某瞬时转轴的转动，刚体的所有点的运动速度由一个角速度来表征。
[参考文献]
[1]周衍柏.理论力学教程,北京：高等教育出版社,第二版,1986.3：204-206
[2]肖士珣.理论力学简明教程,人民教育出版社,第一版,1979.2：157-160
[3]H.H.蒲赫哥尔茨著,钱尚武、钱敏译，理论力学基本教程：上册，北京：高等教育出版社，第一版，1957.8：103-105
[4]郭士堃,理论力学,上册,北京：高等教育出版社,第一版,1982.7 ：57-67
（作者单位：浙江师范大学数理与信息工程学院物理系浙江金华）