回归基础，优化解题方法———2010年全国Ⅰ卷第22题解法探究-中国期刊网

（整期优先）网络出版时间：2012-04-14

作者: 韩传良

文化科学 >教育学

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韩传良

韩传良（商丘市回民中学，河南商丘476000）

2010年全国Ⅰ卷第22题是一道数列问题，主要考察递推公式的灵活转化，共有两问，其中第（1）问大部分同学都能顺利解出，而第（2）问难度较大，所给答案也较为繁琐，学生不易理解。下面笔者从基础知识出发，主要对第（2）问的解法予以探究，仅供同学们对比参考。

题目：已知数列{an}中，a1=1,an+1=c-an（1）设c=52,bn=an-2,求数列{bn}的通项公式。

（2）求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围。

解析∵（1）由于c=52,则an+1与an的递推关系便已确定，故可通过适当的变形就可发现bn+1和bn的递推关系，进而求数列{bn}的通项公式。

（2）由于an<an+1<3对任意的n∈N*都成立，故可先用a1<a2<a3<3求出c的范围，再用数学归纳法证明即可。

综上知c的范围为（2，103］。

下面用数学归纳法证明：若2<c≤103,则an<an+1<3。

（1）当n=1时，a2=c-1>1=a1,即a1<a2又a2=c-1≤103-1=73<3故a1<a2<3成立。

（2）假设n≥k时结论成立，即ak<ak+1<3

综合（1）（2）知若2<c≤103,则总有an<an+1<3,故要使an<an+1<3成立，则c的范围为（2，103］。

本题的第（2）问也可以从an<an+1<3恒成立出发，先求出c的范围，但由于此范围仅是an<an+1<3成立的必要条件，而根据题意应该求不等式成立的充分条件，因此需用数学归纳法给予证明。解法如下：

事实上c>2是an>an+1的充要条件，只需用数学归纳法证明当c≤103时an+1<3即可，此处证明从略。

故要使an<an+1<3成立，则c的范围为（2，103］。

以上解法分别是按“从特殊到一般”和“恒成立”两个思考角度出发，更能体现出“三基”和数学思想方法的活用。因此，在高考备考中同学们要加强基础知识与基本方法的训练，以期在解题时迅速找到最优的解决方法。

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