几种数列求和的解题方法与技巧

几种数列求和的解题方法与技巧

吴大裕

吴大裕徐闻县实验中学524100

【摘要】数列求和是高考的热点考点内容，也是高中数学教学的重点、难点之一，特别是非等差等比数列的求和，对考生的能力考查要求也非常高，因此通过教学研究和探索历年来高考中出现的试题结构特点及解题技巧的探究有利于完善自身的教学方法和提升教学效果，让学生更好的掌握和学好数列知识更为突出其重要性。

【关键词】错位相减法；an与sn关系；裂项相消法；并项求和法；分组求和；

中图分类号：G635.6文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）05-172-03

1.高考考点及风向标

分析近几年高考真题分布情况来看，一般出现一个选择题或填空题或出现在解答题的第一小题。分值一般在5、10、17分，是一个不小的比重，不容忽视。特别是以解答题形式出现，涉及到求通项公式、求和。知识面覆盖比较广，考查综合性较强，是高考的一个难点，和令许多学生比较难应付的题目。做不好会直接影响到高考的总成绩。因此本文主要结合高考中出现的常考题型，围绕数列的通项公式展开对非等差、等比数列求和的探索，使学生更好的掌握数列求和的方法技巧，从而轻松的应对此类题型。

2.数列求和的几种常用方法与技巧

一、错位相减法

若数列的通项，其中为等差数列，为等比数列，则可以由错位相减法去求数列的前项和。

下面先介绍一下错位相减法的推导过程：

先将通项改写为

①

②

由①—②得

(2016山东卷理18节选)已知，求数列的前项和

草稿：1.将改写化简为

2.找出

3.计算

4.代入公式

5.计算出

卷面书写格式：

解：由

又

即①

所以2②

①-②得

所以

考点点评

1.理解通项公式在求和中的地位，考查学生的观察和变通技巧能力

2.使用推导公式可以简化繁琐的计算过程和把握住结果的准确率

二、an与sn关系

求解an与sn关系问题的一般思想方法为：利用关系式进行转化。

常用方法:

1.将an转化为sn

2.利用求出的an代入关系式求出sn

（2015高考全国卷Ⅱ）设sn是数列的前项和，且，，求sn

【解析】

又

是以首项为-1，公差为-1的等差数列

考点点评

1.考察学生能否利用公式转化构造出等差数列

2.而后利用等差数列的前项和公式求出sn

【变式精练】若数列的前项和，求sn

方法一：

是以首项为，公比为-2的等比数列

当时，满足上式

方法二:当时，

当时，

化简得

是以首项为1，公比为-2的等比数列

将其代入可得

考点点评

1.方法一则利用公式的转化，使用待定系数法构造出等比数列进而求出sn

2.方法二则利用公式的转化构造出数列为等比数列，求出通项，再代回关系式中求出sn

三、裂项相消法

裂项相消法的思想方法一般是根据已知条件求出通项公式an，结合通项特点准确巧妙地裂成两项之差，最后把握消项的规律，准确地求出前项和sn。

（2015高考全国卷Ⅰ节选）设sn是数列的前项和，已知

设求数列的前项和

【解析】先由an与sn关系求出通项

则

考点点评

1.若an为等差数列，且，裂项的技巧为

2.若an为等差数列，且，则

四、并项求和法

一般地，如果数列中相邻两项或几项的和是同一个常数或有规律可循，可采用并项求和法

【典例】求数列的前项和sn

【解析】观察发现连续两项和都为同一个常数2，可考虑并项求和法，但要注意求和的项数是偶数还是奇数，需加以分类讨论求和。

设

当为偶数时，

当为奇数时，

【变式精练】求数列的和

【解析】观察发现连续两项和满足平方差公式，可以采用两项合并求解

考点点评

1.一般地通项形如的数列求和，可采用两项合并去求解

2.合并可看成所熟悉的等差等比数列再求和

五、分组求和

一般地通项较为复杂时，把原数列的每一项拆成两项（或多项）的和或差，从而将原数列分解成两个（或多个）数列的和或差，而这些数列的和是可以根据前面介绍的方法可以求解的，再相加或相减，从而得到原数列和的方法。

【典例】求数列的前项和sn

【解析】观察发现此数列的奇数项和偶数项分别以首项为-1,3，都差分别为-4,4的等差数列，可考虑分组求和法，但同时要注意求和的项数是偶数还是奇数，需加以分类讨论求和。

【解析】设

先求通项

当为偶数时，设，则

而

考点点评

1.通项公式为的数列，其中数列是等差或等比，可采用分组求和法

2.分组成所熟悉的数列再求和

六、利用数列的周期性求和

【典例】在数列中，，求和

【解析】观察发现从数列的通项很难入手，由递推公式尝试多求出数列几项，发现此数列是周期数列可以进行求和，关键是如何求数列周期。

【解析】

所以数列是以周期为6的周期数列

考点点评

1.一般地数列递推公式满足或者，则数列是以2T为周期的周期数列

总之，数列求和的方法多种多样，要善于识别题目类型，应先从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过变形通项，注重转化与化归的数学思想方法、分类讨论思想方法，化难为易、化繁为简、化未知为已知，将其转化为等差或等比数列或数列通项符合具备求和的形式，最终达到求和的目的。