二元均值不等式应用例谈

二元均值不等式应用例谈

杜海彦

杜海彦江苏省泰州市民兴实验中学高中部

二元均值不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有着广泛的应用。二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”、将“积式”转化为“和式”的“放缩功能”，所谓“积定和最小，和定积最大”。在应用中，注意均值定理成立的条件：“一正二定三相等”。要创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号成立。对于实际应用题，关键是要建立数学模型，构建运用均值不等式的数学情景。

图1图2

例1，如图1所示，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？

解析：要求最大视角θ，可以建立θ的某一种三角函数，分析可以看出θ的正切容易表示，引入变量CD＝x，从而把求θ的最大值问题转化为求函数最大值问题，运用均值不等式问题得到解决。

设∠ACD＝α，∠BCD＝β，

当且仅当时等号成立。

评注：本题重在数学建模能力的培养，问题解决中发现表示θ的正切是关键。

例2，如图2所示，∠A为定角，P、Q分别在∠A的两边上，PQ的长为定长。当P、Q处在什么位置时，△APQ的面积最大？

解析：∠A为定角，其对边为定长，而夹∠A的两边长度是可以改变的。不妨设AP＝x，AQ＝y，PQ＝a。欲求△APQ面积的最大值，只要求xy的最大值即可。结合余弦定理，运用基本不等式，可求出xy的最大值。

222SΔAPQ=12xysinA，cosA=x+2yxy.a。∴2xy≤x2＋y2＝2a2cosA·xy＋a2，即2（1－cosA）xy≤a2。∴xy≤（21.cosA）。当sinA且仅当x＝y时，“＝”成立。此时，SΔAPQ=12xysinA≤（41.cosA）a2。

故当AP＝AQ时，△APQ的面积最大。评注：本例的关键依然是数学问题的转化，细致分析，缜密推理，问题不难解决。

例3，如图3所示，过点yP（3，2）的直线l与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当BP（3，2）△AOB的面积最小时，求直线l的方程。解析：依题意，可设直线方Ox程为ax+by=1，则a＞0，b＞0。图33211把P（3，2）代入得a+b=1。∵SΔAOB=2ab最小，∴ab最大，32+111

又1=1.3.2≤1（ab）2=（.）2=∴（ab）min＝24。当ab6ab626224a3=b2，即a＝6，b＝4时，“＝”成立。此时，（SΔAOB）min=21ab=12。

直线方程为6x+4y=1，即2x＋3y－12＝0。

评注：中间结论a3+b2=1是运用均值不等式的条件，注意到

a、b都在分母的位置上，所以把1配凑成1.3.2的形式，根ab6ab据“和定积最大”，运用均值不等式，得出等号成立的条件，进而可求出三角形面积最小时两个截距的值。如果把问题条件改为“两截距和最小”，可把直线方程设成点斜式，表示出两截距，再对于a＋b运用均值不等式即可。

在实际应用背景下，均值不等式是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在具体运用均值不等式时，往往要配凑系数、凑项、分离，无论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。另外，还经常采用整体代换（比如“1”的代换技巧）或者换元法来建构运用不等式的情景。对于一些应用题，关键在于合理地建立数学模型。总之，在实际问题中，要准确感知运用均值不等式的场合，合理变形，以达到灵活运用、提高解题能力的目的。