品“k”形悟启示

品“k”形悟启示

张长宏

扬州市邗江区运西中学张长宏

《数学课程标准》在空间观念上要求学生“能从复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系”。在几何解题教学过程中,引导学生主动识别、提炼问题的基本图形,实质是把一个数学问题在剔除无关信息后展现本质结构的过程。用统一的基本图形沟通相关问题,可有效促进解题过程的思维定势正向迁移,化生为熟,化非常规为标准,从而实现解题效益的最大化。本文将以相似三角形中的一个基本图形（K形）为载体,就该图形的应用与对教学的启示进行探讨。供大家参考。

一、追根溯源，认识k形

二、K形的应用

1.K形在函数中的应用

例2探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化。例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：∵∠A＝∠D＝∠BCD＝90°,∴△ABC∽△DCE.

(1)请就图①证明上述“模块”的合理性；

(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：

①如图②，已知点A(－2，1)，点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，求此时点B的坐标；②如图③，过点A(－2，1)作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标。

思路分析：本题K形的模型为问题情境，通过图①情境问题的解决，作为下面解题的提供思路。第2问（图②）将K形隐藏在直角坐标系中，通过已知∠AOB＝90°及A点坐标与要求解的B点坐标，引导学生过点A点B分别作X轴的垂线,构造出K字图形，，通过K形相似，对应边成比例，就能求得B点坐标。

第3问（图③）实际将△ADC沿直线DC翻折得到△EDC，求解E点的坐标，过点E作MN⊥X轴，作DM⊥MN,延长AC交MN与N，构造出K形的模型，由△DME∽△ENC，对应边成比例,设E(x,y)，组成二元一次方程组解决问题。

本题评价：命题者通过大家熟悉的基本图形K形，让学生容易上手，然后巧妙的将K形放置与直角坐标系中与一次函数紧密结合。在问题设计上由浅入深，培养了学生解题的迁移能力，使不同水平的学生在情境设置的启示下，思维能力得到培养，让学生经历情境观察、问题探究、拓展延伸的环节，层层推进，把握好推进的“度”，培养了学生的思维能力，自主探究能力，创新能力。

2.K形在几何证明中的应用

例3、如图①所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥l于点D1,过点E作EE1⊥l于点E1。

(1)如图②,当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1=AB；

(2)在图①中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由；

(3)如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系。(不需要证明)

思路分析：本题以C点的变化，带动整个图形的变化，先给出第1问这种特殊情况，全等K字图形，由△ADD1≌△CAB解决问题，第2问借鉴第1问的特殊情况的解题思路，过C点作直线l的垂线，构造K字图形两次全等解决问题。第3问同样的方法，过C点作直线l的垂线构造K字形两次全等解决问题。

本题评价：第1问的特殊情况的解题思路为后两问做了铺垫，渗透了借助特殊解决一般的思维策略，第1问的解题思路使学生对整个问题形成思维链，为学生指明了解题方向。培养了学生在特殊问题的解决中，概括出一般问题的解决方法，以及在一般问题中寻找与构造特殊问题的能力。

3.K形应用对数学教学启示

培养学生发掘提炼总结基本图形的能力。任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的,将一个复杂图形中的基本图形“离析”出来,是解决问题必须具备的重要能力之一,而这种“离析”是在真正理解基本图形上才能进行的,在例题讲解基础上进行引申，恰当合理的引申，可让学生把知识学活，使学生做到举一反三、触类旁通，进而悟出其中的方法，切实提高学生的数学素养和创造发现与解决问题的能力。提高运用基本图形及其结论的能力。

在日常的几何教学中，灵活的探究，运用基本图形及其结论，使其形成自己的题域，往往可将复杂、繁琐的问题简单化、方向化，防止信息的负面干扰，在较短的时间直击问题的本质，一方面很好的挖掘习题深层次的知识点，螺旋上升，让学生会解一道题，也会接一类题，实现以题梳理，以题论法。另一方面也能让学生从纷繁杂论的思维模式中解法出来,促进对数学知识的灵活运用,提高思维的灵敏性与深刻性。

总之无论试题如何变化,只要我们抓住基本模型,找准思路,就能以不变应万变。