教学“数的整除”后的思考

教学“数的整除”后的思考

向往

四川省渠县渠江镇第三小学向往

【中图分类号】G661【文章标识码】A【文章编号】1326-3587（2012）07-0089-01

“数的整除”在“西师版”五年级数学教学中既是一个重点，又是一个难点。其中繁多的概念让学生甚至是教师都无所适从。它不仅涉及到概念之间联系紧密，并且很容易混淆。通过多年的小学数学教学，笔者对这部分内容做了十分仔细的总结和思考，现结合我平时的教学，对“数的整除”这一环节中几个问题做如下分析，以供广大同仁参考。

【问题一】

※整除与除尽有什么区别？

解答与分析：

1、整除：整数a除以整数b（b≠0），得到的商是整数，没有余数。我们就说a能被b整除，或说b能整除a，即“整除”的条件是被除数、除数和商都是整数。

2、除尽：两个数（整数或小数）相除，当商是整数或有限小数时，如：11&pide;5.5=2；3&pide;16=0.1875；7.5&pide;2.5=3等，我们就说，这些算式中的“被除数”能被“除数”除尽，或者说“除数”能除尽“被除数”。

显然，上面这些算式，不能说“被除数”能被“除数”整除，这是因为它们不符合“整除”的条件：“被除数、除数和商都是整数”。

例如：40&pide;8=5，可以说40能被8整除，也可以说40能被8除尽；然而4&pide;8=0.5就只能说“4能被8除尽”而不能说“4能被8整除”。

整除和除尽两者的关系，还可以用下面的集合图来表示：

【问题二】

※为什么不把1也看作质数？

解答与分析：

质数的特征是只能被1和它本身整除，而1也只能被1和它本身——“1”整除。那么为什么不把1也看着质数呢？原因是如果把1也作为质数，那么将给分解质因数带来混乱，破坏结果的唯一性。例如：把12分解质因数，就会出现无限多的结果：

12=2×2×312=1×2×2×3

12=1×1×2×2×312=1×1×1×2×2×3

………

为了保证分解质因数时结果的唯一性，所以，规定“1”不是质数。这样12以及其它合数分解质因数时就只有唯一的结果了。

【问题三】

※怎样快速判断两个自然数是互质数？

分析与解答：

我根据“互质的两个数只有公因数1”这个特点，在教学中总结出如下快速判断两个自然数是否互质的方法：

1、1和任何（非0）自然数互质。（注：教材是在非0自然数范围内研究整除的）

例如：1和8；1和47等。

2、2和任何奇数互质。

例如：2和11；2和57等。

3、相邻两个自然数互质。

例如：21和22；58和59等。

4、相邻两个奇数互质。

例如：11和13；17和19等。

5、两个不同的质数互质。

例如：17和13；83和23等。

6、较大数是质数的两个数。

例如：4和23；79和12等。

7、较小数是质数，较大数不是较小数的倍数的两个自然数互质。

例如：5和27；11和280等。

8、两个合数，较小数所有的质因数都不是较大数的因数，这两个数互质。

例如：12和3512=2×2×3而2、3都不是35的约数。12和35这两个数是互质数。

9、两个合数，它们的差得所有质因数都不是较小数的约数，这两个数是互质数。

例如：24和85,85－24=61,61不是24的因数，所以24和85这两个数是互质数。

〖注〗在判断两个自然数是否互质时，前5中方法使用较多。

【问题四】

※质数、互质数、质因数有什么区别？

解答与分析：

在自然数中除了1和它本身以外，没有其它的约数，这个自然数叫质数。（如20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19）

两个自然数，除了1以外，没有其它公因数时，称这两个数为互质。（也叫做“互素”）。互质的两个数叫互质数。（例如：4和15是互质数）

如果一个数的因数，这个因数本身又是一个质数，这样的因数就叫做这个数的质因数。例如：5和11都是55的质因数。

由此可知：

1、质数和质因数本身都是质数，而互质数的两个数却不一定是质数。例如：8和9是互质数，而8和9都不是质数。

2、质数是一个数；互质数是指两个数之间存在着某种关系；质因数则是一个数相对于另一个数而言，不能孤立存在。所以不能单独地说“某一个数是质因数”，“某一个数是质因数”。

以上几个问题，不仅是学生难以把握和区分的问题，也是广大教师在教学中应该引起注意的重点和难点。