旋转楼梯石材放样与加工图的具体画法及原理

旋转楼梯石材放样与加工图的具体画法及原理

张纪峰

南安市水头康利石材有限公司福建泉州362342

摘要：按照设计和施工实际需要，探讨旋梯放样原理与楼梯立板、盖板分件图的画法，通过建立微分几何数学模型，用Newton迭代法将弧长等分并将各等分点用参数t表示，从而得到旋梯各控制点的坐标。

关键词：旋转楼梯；石材放样；迭代法；扭曲余量；

前言：椭圆有两条对称轴，弧上的曲率是在不断变化的，很难用解析函数表达弧长积分。同时螺旋线和直纹面会给椭圆弧长计算很烦琐，因此，研究旋梯施工放样和内力分析是有成就感。

上世纪八十年代末日本著名建筑设计师丹下健三在西亚约旦的哈西姆宫设计了5个不同使用功能的会客大厅。其中一个会客大厅旋梯为背景，楼梯中线在地面上的水平投影为椭圆，其长短半轴分别为4.2米和2.4米。踏步按照弧长平均设计，楼梯从左向右进行旋转，每旋转一周楼梯垂直高度上升10.2米。建立微分几何数学模型后就可根据弧长进行施工放样。

一、椭圆楼梯的加工图画法

休息平台进行简化，用参数t和v分别控制直纹曲面S：r(t，v)。由v得到一组t线，t线含旋梯中心曲线和内外边线，椭圆螺旋线用LR表示，楼梯的内外边线用LR和LR·E(v0分别为600、-600)表示。根据参数t还可以得到一组v线，方向正好与椭圆螺线法线方向一致，因此，v线就是楼梯踏步的边线。[1]如图1，整个椭圆楼梯分布在直纹曲面上，其中t线和v线为直纹曲面上两组正交曲线，螺旋线LR在x0y平面上的投影即椭圆曲线r(t)。

旋梯踏步面板，往墙体无踢脚平面图，面板往挡水方向加30mm余量，往墙体方向加20mm余量，即立板总长度加50mm；面板宽度下单尺寸为：一般的由立板完成面往里加30mm。（踏步面板往墙体与往挡水方向弧度可以现场切割）

旋梯踏步面板，往墙体有踢脚平面图，面板往挡水方向加40mm余量，往踢脚方向加10mm余量，即立板总长度加50mm；面板宽度下单尺寸为：一般的由立板完成面往里加30mm。

二、椭圆弧长计算

旋转楼梯的椭圆弧长计算式：

椭圆弧长为一个固定值，在公式（2）中其半径是收敛的，且可逐项积分。将偏心率e=1-(b/a)2=0.82054代入公式（2），并逐项积分，近似值和误差分别用l(t)10和ε(t)表示，可得l(t)=l(t)10+ε(t)，即得l(2π)10=21123.2768，同利用计算机软件Matlab编程求出的结果21121.89733相比，误差率仅为0.065‰，，可忽略，可作为旋梯椭圆弧长计算公式的近似解析解。

三、椭圆螺旋楼梯的施工放样

知道了椭圆旋梯的物体性质，用数学几何公式准确标识，就可放样，在图纸上已经标注了楼梯中心线上踏步的起点A1、中间休息平台A18和A19点、踏步的终点A33，同时A1～A18、A19～A33之间分别设置17和14个等分踏步，如图2，施工放样实际上就是求解A1～A18、A19～A33之间等分点所对应的参数t。可用Newton迭代法求解参数t，即把参数t代入公式，最终求出弧长与等分弧长。计算出中心线上对应的参数t，就可求出中心线上每个等分点Ai的坐标，旋梯踏步可用v线表示，平行于xoy平面，故内、外边线的等分点Bi和Ci等同于中心线上Ai的坐标，v线和中心线t线相垂直，所以直线Ai、Bi和Ci和主法矢方向平行，螺旋曲线在水平面上的投影为椭圆，每一点Ai处的法角大小为:

β=arctank法=arctanatantL∶r(θ)=(abcosθ/ρ，absinθ/ρ)

按上述方法可求出椭圆旋梯中心线、内外边上的各等分点的坐标，还可用各点在水平面上的投影制作楼梯踏步。

Ai、Bi、Ci(i=2～17）计算参数等分变量为tn=4.54357，弧度等分变量ln=271.81756。用计算机和人工计算相差不大、可忽略，i=20～32时计算方法大致相同，但另一半必须对称。旋梯立面出图是根据平面图弧长、标高及旋梯大样等。

四、旋梯的扭曲余量

旋梯扭曲余量，计算公式：＆=(外弦长一内弦长)×坡高／（2×外弦长）=(R外一R内)×坡高／（2R外）.

旋转楼梯加工时，侧板及盖板如果不加按上式计算出的加工余量，加工时，尺寸可能会小，无法形成旋转楼梯的扭曲效果，甚至可能因加工余量不足导致产品报废。[3]立板、盖板分件图如下：（画线模板外弧加1mm，内弧减1mm）

结束语：

把设计和施工图纸同现场相结合，用旋梯微分几何数学模型，绘制楼梯弧长时进行等分，设计和施工人员就可推算出弧长计算公式的近似解析解，用Newton迭代法人工计算出弧长的等分点参数t，另外用计算机Matlab软件对楼梯椭圆弧长进行重新计算，并把人工和机算的结果相比较，实际结果表明近似解析解完全满足工程和客户实际需求。

参考文献：

[1]刘亚东.钢筋混凝土楼梯设计原理[J].江西建材，2015.

[2]韩志国.椭圆形旋转楼梯内力分析及机算[J].中国科技博览，2014.

[3]罗明.椭圆形旋转楼梯施工技术[J].中国科技纵横，2014.