图形简化寻思路，简约意识渐培养

图形简化寻思路，简约意识渐培养

朱海燕

宁海县黄坛中学浙江宁波315608

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合作为数学教学中非常重要的数学思想已被学生所熟知。在平时的解题中，学生已会想到借助图形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，也就是“以形助数”。但是，当图形较复杂或者条件较冗长时，如何利用图形的几何直观性，如何真正做到“以形助数”成了学生的一大问题。于是，在解题过程中学生常出现思维混乱、思路不清甚至无从思考的状态，也常出现虽有思路但因解题方法不当而引起烦琐的计算、冗长的推理等。究其原因，笔者认为学生缺乏简约的思维意识、如何简约的思维能力，及缺乏几何直观这一数学核心素养的培养。

下面笔者结合自己的教学实践，谈谈如何利用图形简化法来培养七年级学生的简约意识，从而促进学生几何直观数学核心素养的培养。

【例1】如图1，图中共有对对顶角。

教学解析：学生在解决本题时基本上都是直接在原图上寻找，答案有2对、3对或4对，班内正确率仅占50%，真是不可思议。事实上，根据概念我们知道对顶角必须满足以下两点要求：①有公共的顶点；②角的两边互为反向延长线。而图中射线OD、OF达不到互为反向延长线这点要求，所以可以略去射线OD、OF，画出简图（如图2），本题迎刃而解。

图1图2

通过组织学生回顾概念、剖析概念，根据概念略去图中无用的线使图形简化，使问题明朗。这个过程既深化了学生对有关概念的理解，又潜移默化地培养了学生的简约意识。

【例2】如图3，∠AOB=n°，OA1平分∠AOB,OA2平分∠AOA1,OA3平分∠AOA2,OA4平分∠AOA3,则∠AOA4的大小是（）。

A.()°B.()°C.()°D.()°

教学解析：本题难度不大，但对于基础较弱的学生而言，足以被这样的图形“吓”住。图形简化可以使这部分学生消除畏惧，学会剖析问题，从而获得学习数学的兴趣与自信心。如简图4，射线OA1是∠AOB的角平分线，则∠AOA1=∠AOB=()°。如简图5，射线OA2是∠AOA1的角平分线，则∠AOA2=∠AOA1=()°。如此这般，学生不难得到,∠AOAn=∠AOAn-1，计算可得答案选B。

图3图4图5

【例3】已知线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=a，BC=b,a＞b,线段AC和BC的中点之间的距离为。

教学解析：无图题由于条件的不确定常需要进行图形的分类讨论，通过平时的训练学生已有这一解题经验。在画出线段AC后，学生分析出点B的位置可能在点C的左侧，也可能在点C的右侧（如图6）。当点B位于点C的右侧时，学生结合图形不难得到中点间的距离EF=。而当点B位于点C的左侧时，笔者发现学生在分析线段间关系时思维混乱，无法从众多的线段中找出关键线段，花费过多的时间却仍不能获得正解。

图6

事实上，本题所考查的知识点无非是线段的中点及线段的和与差。根据线段中点的定义学生不难得到：AE=CE=，BF=CF=。但是由于图中线段繁多，想要找到关键线段之间的和差关系，图形显得不够直观。在教学中，我采用图形简化的方法，达到降低解题难度的目的。点E、F分别是线段AC、BC的中点，点C是线段AC和线段BC的公共点，留下这三个关键点舍去点A和点B，画出简图（如图7）。简图中线段之间的数量关系十分直观，EF=EC+CF或EF=EC-CF。于是答案自见分晓，EF=或EF=。

图7

通过组织学生分析条件，剖析所考查的知识点，在知识点的应用过程中寻找思路，在思路的困惑处停驻思索画出简图。这个过程，既培养了学生学会分析问题的能力，还培养了学生在思路困惑处通过画简图突破难点的数学思维。

【例4】已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-12、-5、5（如图8），两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时出发。甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位（如图9）。（1）若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？（2）略。

教学解析：解决本题时，学生基本上直接在数轴上画出路程图，思维较好的学生能一步到位，求出相遇点所表示的数。但对于大部分七年级学生而言，综合解决问题的能力还欠缺，画好路程图后思维停滞不前，无从思索。

图8图9

本题是以数轴为背景的相遇问题，是数轴与一元一次方程的应用相结合的综合题。不妨通过画简图，分步进行，再综合求解。首先，舍去数轴背景，将问题直接转化为路程问题，画出路程图后，列方程求解。设t秒后甲乙相遇，则2t+3t=17。解得：t=3.4。然后回到数轴，t=3.4秒，说明甲从A点向右走了6.8个单位，故相遇点所表示的数为-12+6.8=-5.2。

通过图形简化将所要解决的问题转化为较易解决的问题或已经解决的问题，巧妙地完成了数学解题中转化策略的实施。可见，图形简化不仅培养了学生的简约意识，还渗透了转化的数学思想，从而提高了学生的解题能力。

【例5】将一副三角板如图10摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒。同时，三角板BOC绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止。（1）略；（2）请写出∠NOC与∠AOM的数量关系。

图10图11

教学解析：旋转过程中，∠NOC与∠AOM的度数随之而改变，因此∠NOC与∠AOM都是变量。这两个变量的产生是由于两个三角板在旋转，而这两个三角板的旋转速度又不一样。对于七年级的学生而言，难度之大，可想而知。在教学中，笔者通过图形简化的方法，引领学生层层剖析，表达出各个变量的代数式，从而找到两角之间的数量关系。角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，借助定义指导学生研究角可以研究组成角的各个元素（顶点、角的两边）。如简图12，∠AOM的各个元素中，只有边OM在旋转，所以只需研究边OM。不难得到，OM旋转了(10t)°，故∠AOM1=(10t)°。有了这样的铺垫后，笔者放手让学生自己去分析∠CON，学生的回答相当精彩！

学生1：∠CON的各个元素中，两边都在旋转，所以边OC、边ON都要研究。如简图13，∠C1ON1=∠AON1-∠AOC1。其中边ON绕点O顺时针方向旋转了(10t)°，得到∠AON1=(90+10t)°；边OC绕点O顺时针方向旋转了(5t)°，得到∠AOC1=(45+5t)°。故∠C1ON1=(45+5t)°。

图12图13

学生2：老师，我有更简约的方法。OC边绕点O向顺时针方向每秒旋转5°，ON边绕点O向顺时针方向每秒旋转10°，说明每过一秒∠CON将扩大5°。旋转前，∠CON=45°，所以t秒后∠C1ON1=(45+5t)°。

学生2由整体入手，通过细心的观察和深入的分析，找出了整体（∠CON）与局部（边ON、边OC）的有机联系，从整体上把握问题，从而揭示了旋转的本质和变化规律，避免了各个量的推演与计算，简洁巧妙地解决了问题。何等精彩！

最后，消t就可得到两角之间的数量关系。通过图形的简化，将问题聚焦于某个点进行研究，简明直观，启发思维。课堂中得到了两种创造性的解法，不仅体现了受到启发后学生思维的灵活性与创造性，更充分显示出增强简约意识、培养学生几何直观核心素养的必要性。

在以上的教学过程中，笔者利用图形简化直观地进行教学，形象地展现问题的本质，促进学生对数学问题的理解，有机渗透数学思想（转化思想、整体思想、数形结合思想等）的同时，提高了学生的思维能力和解决问题的能力。图形简化教学使学生学会利用简图来描述和分析问题，使复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索出解决问题的思路。它给学生带来的启发与《课程标准（2011年版）》中所提到的几何直观核心素养的作用不谋而合。因此，图形简化作为一种解题方法，它无疑在一定程度上培养了学生的简约意识，培养了学生几何直观的数学核心素养。

参考文献

[1]朱金祥关注解题教学培养简约意识[J].中学数学教学参考，2017第10期，25-27。

[2]课程标准（2011年版）。