关于构造法在线性代数矩阵中运用的研究

关于构造法在线性代数矩阵中运用的研究

张晓楠

张晓楠哈尔滨华德学院150000

摘要构造法是数学中的一种基本方法,其主要特征是“构造”。把原有的数学问题，根据需要，构造出与之相关的数学对象，把原问题转化为一个新问题，从而使问题得以转化、解决。这种方法简单便利，而且使各种知识联系起来了。可以培养学生的创造性思维。

关键词线性代换构造法矩阵

在应试教育的氛围下，中国的教学化往往是轻视概念、原理、公式的推导，只重结果不重过程，让学生进行大量的、重复性的机械练习;久而久之，容易养成学生的惰性和滋生抽象乏味的感觉，会觉得数学很无聊，枯燥乏味，从而逐步丧失学习的原动力，埋没了学生的创造性。所以接下来我们要谈谈构造法在线性代数矩阵中的运用，以此来说明它的各种要素。

一、线性代数和矩阵的概念

线性代数是高等数学的一个分支，主要处理线性关系，线性变换及线性方程式等问题。它的理论和方法广泛应用于物理，化学，工程技术，计算机等各个学科领域中，是理工科学生的一门公共必修课，其主要特点就是概念多，抽象，不易理解。现如今，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。矩阵出现于19世纪，由英国数学家凯利提出，其本来意思是控制中心的母体和孕育生命的地方。然而在数学中，矩阵指的是纵横排列的二维数据表格，它在生产实践中有许多应用。

二、构造法在线性代数的简单运用

由于高等代数中的概念比较抽象,证明方法千变万化,所以在对一些命题的证明时,一般需要构造并论证一个适当的辅助问题,从而架起一座桥,打开论证命题的通道,这就是所谓的构造法,此方法在高等数学中普遍应用.许多代数课题具有鲜明的几何直观,充分利用这一点,可构造所需要的数学问题.例如,证明施密特正交化方法是时,设α→1与α→2是平面V2上的线性无关向量组,怎样由此得出正交向量组?先取β→1=α→1,为了求出β→2我们考虑线性组合α2+kβ→1,从这里决定实数k,使α→2+kβ→1与β→1正交.为什么考虑线性组合α→2+kβ→1?因α→1与α→2是V2的线性无关向量组,所以V2上任意向量都是α→1与α→2的线性组合.先取β→1=α→1后,再求β→2,使β→1与β→2正交,归结为求α→1与α→2的一个线性组合,使之与β→1正交,于是如上构造线性组合式,使问题解决.构造数学问题的思维过程应当符合从实际到抽象,从特殊到一般,从感性到理性这一认识规律,按照这一规律来构造某些数学问题往往容易奏效

三、矩阵即线性变换的化身

由于在取定了n维线空间V的基之后，v的线性变换于n阶矩阵之间是一一对应的关系，且线性变换的运算与矩阵的运算也保持一致，也就是说，线性变换于矩阵是两个同构的代数系统，所以在代数意义下，矩阵与线性变换没有本质区别。例如，用线性变换作用于一个向量，就相当于用矩阵乘以该向量的坐标，线性变化的特征值也就是矩阵的特征值，线性变换的对角化就是矩阵的对角化。因此，我们可以形象的说，矩阵就是线性变换的化身。

四、构造法的相关应用

1.构造方程。有些问题可引人参数，建立方程，通过方程来分析问题中的量与量的相互依存、相互制约的关系，从而达到解决问题的目的。

2.构造函数。在高等数学中,诸如求极限,判断函数的单调性,证明不等式,等式、方程根的存在,应用中值定理和积分估值等,通常要设一辅助函数,将问题转化为研究函数的性质或依据有关定理,使问题获得解决。

3.构造等式。根据数学问题的条件式结论所具有的特征,构造与之相适合的数学等式,使能利用这个等式来解决问题。

4.构造积分式。通过构造积分式,利用积分概念和性质,把级数求和问题转化为定分问题,或用于计算积分等,常能化难为易,化繁为简。

5.构造反例。正确的数学命题需要严密的证明,廖误则靠反例即可否定。在高等数学中也有许多反例,了解、并学会构造它们,无论对于加深数学概念的理解,还是对于掌握解题的方法、技巧都有益处。

6.构造级数。级数与函数、数列、导数、积分等诸多知识密切地联系在一起。根问题条件中的数量关系和结构特征,构造出一个级数,然后依据级数的理论,使问题在新的关系下达到转化而获解。

五、使用构造应注意的三点

数学中的某些问题，从正面解答较难或无从下手，如果根据题目的特点，建立起有关的方程，再用方程的某些性质，便可以使问题迎刃而解.这种构造方程解题的方法.构造巧妙，过程简明，许多杂志邢曾载文介绍过这种方法.但是，我们发现在构造方程解题时常发生这样或那样的错误.为此，本文通过举例提请大家在构造方程解题时要注意三点:1.注意对构造方程系教的讨论，正确使用方程的有关性质解题。2.注意对构造方程两根的研究，正确使用方程的根的定义解题。3.注意对构造方程两根的到定，正确处理几何。

六、构造法的特点

构造法作为数学的一种重要方法，它最大的特点是：创造性的使用已知条件。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是一广泛抽象的普遍性和现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采用相应的解决方法。在构造性思维过程中，常常要伴随观察，分析，综合，联想，猜想等思维活动而进行：构造性思维有时体现在解决问题的全过程中，也有是体现在解决问题的关键环节或步骤中，在构造的“框架”上，必须在优先的步骤内能具体实现。在应用构造思维时，一是需要有扎实的基础知识和具有创造性思维的品质；二是要有明确的目的，即需要构造的是什么；三是弄清题设条件和结论特点，以便根据特点，设计构造方案。

七、泛谈矩阵的最少元素构造法

在层次分析法中构造判断矩阵并使判断矩阵具有一致性是非常关键的。为减少正互反矩阵两两比较的复杂性,降低计算难度,从判断矩阵的构造入手,首先确定相对独立的主对角线上(下)侧元素,而非独立元素就按照一致性原理计算。利用最少的元素构造判断矩阵,使构造矩阵过程简洁,效率提高,满足一致性的要求。

本文判断矩阵的构造入手,以独立元素作为构造的起点,使两两比较的次数大为减少,从n(n-1)2减少到n-1次,非独立元素则按照一致性原理计算,这样就使构造矩阵过程简洁,效率提高,既充分尊重了专家的意见,又满足一致性的要求,具有很好的推广意义。

结语：综上所述,构造方法是高等代数中应用广泛并且极其重要的一种方法,我们在数学中要注意运用它。同时，构造法解题也是一种创造性思维活动，其关键是丰富的联想和正确的转化，通过对题设条件的分析，想一想是否碰到过类似的问题，或者有类似的形式和方法，然后或直接构造得出结论，或构造一个辅助问题使原问题得以转化或简化。利用构造法解决数学问题不仅可以培养学生分析问题、解决问题的能力，同时可以培养学生的想象力和灵感，使学生体会到数学的美妙，更重要的是培养学生的创造性思维，创造性思维对于创新型人才是至关重要的。

参考文献

【1】NationalInstrumentsCorporation.LabviewforWindowsUserManual.1996

【2】吴祈宗,李有文.层次分析法中矩阵的判断一致性研究[J].北京理工大学学报,1999,19(4):502-505.