浅谈中学中几何概型的教学

浅谈中学中几何概型的教学

林逸彬

华南师范大学广东广州510631

概率在高中人教版必修三的第三章出现，共有三小节，分别是随机事件的概率、古典概型和几何概型。第一小节先让学生了解概率的概念、随机事件的定义，为之后学习古典概型以及几何概型作好铺垫。

概率与生活息息相关，诸如彩票中奖率问题、滴水石穿等，都可以用概率的知识来解答。概率在社会生活及各学科领域中的应用非常广泛，因此，教师如何把概率这一知识板块讲好，让学生具备最基本的概率知识、思想与方法，是培养学生数学素养的重要基础，并且有利于素质教育的实现。

笔者根据自身经验，浅谈一下高中人教版几何概率的教学。

首先谈一下几何概型在教材中的地位。

1.几何概型是新课标中新增加的内容，与古典概型一样，是一种重要的概率模型。

2.在学习了古典概型之后，对几何概型的学习可以让学生更加深入地了解概率，完善概率的知识体系。

3.几何概型这一章中主要的知识点有：几何概型的概念、特点以及概率计算公式。几何概型与古典概型最大的区别，是在基本事件的可数性上（古典概型的基本事件数是有限的，而几何概型的基本事件数是无限的）。因此，学习了几何概型，也能让学生认识到有限到无限的过渡，无限的思想对于大学数学的学习也是必不可少的。

接下来谈一下学生的认知基础。

据笔者了解，大多数学校是在讲完必修一、必修四和必修五之后再讲必修三，因此几何概型是在高一的下学期或者在高二的上学期学习。此时学生已经适应了高中数学的学习，而且学生在先前的学习中已经掌握了类比的思想（如在必修数列的学习中，等差数列与等比数列的类比），通过之前对古典概型的学习，学生可以在教师的引导下类比出几何概型的概念、概率计算公式等。然后，关于教学方法，笔者比较推荐的是采用问题探究法。虽然传统的讲授法有利于学生快速接受新知识，但是从素质教育的角度来讲，问题探究法更有利于以教师主导和以学生主体的良好课堂的实现。因此在问题探究法的教学方法指导下，笔者设计了以下教学过程：

教学过程分为四大板块，分别是复习旧知、探索新知、巩固新知以及课堂小结。我们主要谈一下复习旧知和探索新知。在复习旧知方面，教师对古典概型的知识进行回顾，提问古典概型的概念、特点，并且可以举一个关于古典概型的例题来让学生回答。例如：在1到10这十个数字中任意选取一个数字，求这个数字大于5的概率。通过对古典概型相关知识的复习，为接下来类比得到几何概型的概念做准备。

在探索新知的环节，教师可以设计一系列问题来让学生总结、归纳出几何概型的相关概念。例如，教师可以设计如下问题：

例题一：在有理数数轴[0，10]这个区间上任意选取一个数字，求这个数字大于5的概率。

这个问题是对复习旧知环节中的例题进行变型。教师引导学生思考问题，可以发现变型后的问题不再是一个古典概型的问题，因为它不具备基本事件的有限性，但每个基本事件发生的概率与古典概型一样，都是等可能的，从而引出几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何模型。

在以上问题的探究过程中，教师一步一步引导学生思考问题，学生会发现用已有知识解决不了问题，从而产生认知冲突。关于认知冲突，心理学家皮亚杰认为：个体的认知发展是在认知不平衡时通过同化或顺应两种方式来达到认知平衡的，认知不平衡有助于学生建构自己的知识体系；认知结构就是通过同化和顺应过程逐步构建起来，并在“平衡（建构）—不平衡（解构）—新的平衡（重构）”的依次不断循环中得到丰富、提高和发展。在思考问题的过程中，学生已有知识解决不了问题，认知处于不平衡的状态，从而有了学习新知的欲望，有了学习的动力。有效地利用认知冲突理论，可以有效提高学生的学习效率。

在几何概型的概念中提到了关于区域的长度、面积或体积之比，而例题一只是关于区域长度的问题，因此，笔者觉得可以通过以下两个例题让学生进一步探究。

例题二：一条小鱼在一个长40米、宽30米的长方形水池中自由游动，求它距离池壁不小于5米的概率。

例题三：一条小鱼在一个长40米、宽30米、深20米的水池中自由游动，求它距离池底和池壁均不小于5米的概率。

例题二是一个关于区域面积的几何概率模型，而例题三则是对例题二的变型，从二维到三维，是一个关于区域体积的几何概型问题。通过这两个问题的解决，再结合例题一，可以让学生更深入地掌握几何概型的概念以及概率计算公式。

波利亚的解题法提出，解题分为四个过程：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。其中第四个过程，也就是回顾，是波利亚解题法的精华部分，因为大部分学生甚至是学习成绩很好的学生都会忽略了解题后回顾的过程。在本节课的问题探究完成后，教师可以引导学生进行回顾，回顾每一个例题解决所用的方法、解题经验，跟学生一起总结几何概型问题的解题一般步骤，让学生除了收获解题经验方法还能提高自主学习能力。

概率这一章的学习，是为之后学习排列组合、条件概率等知识板块打下基础，需要教师高度重视。概率模型是抽象的，但概率与生活也是密不可分的，所以希望教师们在教学过程中能通过讲解一些与生活相关的例子来激发学生的兴趣，让学生感觉数学与生活是息息相关的，增加学生对于数学学习的认同感！