浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用

浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用

王洪峰

◆王洪峰广东省深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）高中部518049

在高中数学教学的过程中，数学的函数思想一直是我们从事教学的理念之一，函数的定义起始于初中阶段，进入到高中以后，不断的在原来的基础上增加了新的函数概念，主要是用映射的观点来阐明函数，这就要求我们学生对函数要有更加深层的理解，了解函数方程思想的关系。函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型，函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系；而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一。

一、准确、深刻理解函数的有关概念

函数是中学数学中的一个重要概念，也是高中数学的基础。学生学习函数的知识分四个阶段：第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图像；第二个阶段（数学必修1）；第三个阶段将学习三角函数（数学必修4）、数列（数学必修5）；第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高。

对于函数概念的引入，教材通过具体实例，让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对应关系。教学应从学生已有的函数知识入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一般概念。如（1）随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；(2)打电话时，通话费用与通话时间之间的关系；(3)中国的国内生产总值正在逐年增长等等。

二、函数与方程思想的概念以及相互转化

1.函数与方程思想的概念。函数的思想方法就是对于客观事物的运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。

方程的思想方法就是经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的研究，使原问题得到解决。从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

2.函数与方程思想的相互转化。如果变量间的数量关系用解析式表示，则这个解析式又可以看作一个方程，通过解方程的方法进行研究，使问题得到解决，这就是函数与方程的思想。很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

三、函数与方程思想在高考中的几个典型应用

1.利用函数与方程思想解决函数、方程问题。方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，函数y=f(x）也可以看作二元方程y-f(x)=0。它们之间的这种关系为我们解决方程与函数问题提供了思路。一方面，对于有些方程问题，可以用变量的观点，将其转化为函数问题，利用函数性质来解决；另一方面，也可将函数问题转化为方程问题，利用方程性质或通过解方程来解决。

2.利用函数与方程思想证明不等式。在解决不等式证明的问题时，一种非常重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题。由于函数与方程、不等式有着内在的联系，函数性质的研究依赖于不等式及方程的有关知识，因此，处理不等式问题，可借助于函数与方程思想加以研究。借助于函数与方程思想证明不等式，方法灵活多样，以二次函数为例，函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，函数图像位于x轴上方的部分对应的横坐标的取值就是不等式f(x)>0的解，它们之间的这种关系使得在解决实际问题时，可进行适当的转化、化归。

3.利用函数与方程思想解决数列问题。数列本身就是特殊的函数，所以一些研究函数的方法，同样适合于研究数列，但是要注意数列本身的特殊性。它可以看作是自变量依次取正整数，图像为一群孤立点的函数。所以在解有关数列的问题时，应注重将其与函数有关的知识结合在一起，注重函数与方程思想方法的运用与渗透。

4.利用函数与方程思想解决三角函数问题。在三角学习中，我们要善于根据问题的特征，合理地展开联想，巧妙地实施转化，增强运用函数与方程思想解题的意识，使解题的水平得到大幅度的提高。“数学的精神和本质在于它的思想和方法”，三角函数是一类特殊的函数，高考主要在三角函数的图像、性质以及结合三角变换求三角函数值等方面进行考查。判断函数单调性的问题，可以结合导数的相关知识进行解答。

5.利用函数与方程思想解决解析几何与立体几何最值问题。解析几何、立体几何及实际应用等问题中的最值问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决。在解析几何中，经常利用待定系数法求直线或圆锥曲线的方程，通过建立a、b、c的方程来求圆锥曲线的离心率问题。直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

综上，函数与方程思想一直贯穿在中学整个教学过程中，是中学数学中最基本、最重要的数学思想，应用涉及的知识点较多，是考查创新实践能力的良好载体。历年的高考试题中，每年都有一些设问新颖的函数与方程题目，而且占有相当的比重，一些常见的解题规律和方法在这里得到比较充分的体现。我们应结合中学教学的实际多种途径培养学生的函数与方程思想，达到提高学生数学能力的目的。