聚焦高考数学中的恒成立问题

聚焦高考数学中的恒成立问题

廖开鲜

四川省苍溪县城郊中学校628400

恒成立问题是高考高频考点，在高考中多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题。这类问题由于往往既含有自变量又含有参变量等多个字母，且还经常与函数的性质、图像、方程等多种数学分支交汇结合，具有形式灵活、思维性强的特点。解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱，还原函数问题本来面目。处理这类问题最基本的方法有分离参数法、构造函数法、数形结合法。

一、分离参数法

分离参数法的基本思想是将所给的表达式中的常数a分离出来，转化为：1.f（x）＜g（a）恒成立f（x）max<g（a）；2.f（x）≤g（a）恒成立f（x）max≤g（a）；3.f（x）＞g（a）恒成立f（x）min＞g（a）。4.f（x）≥g（a）恒成立f（x）min≥g（a）。

例1.（08上海）已知函数f（x）＝2x-。

（1）若f（x）＝2，求x的值。

（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。

解：（1）x=log2（1+2）。

（2）当t∈[1,2]时，2t（22t-）+m（2t-）≥0，即m（22t-1）≥-（24t-1）。∵22t-1＞0，∴m≥-（22t+1）；∵t∈[1,2]，∴-（22t+1）∈[-17，-5]，故m的取值范围是[-5，+∞]。

方法点晴：本题主要考查了函数的恒成立问题，其解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想。试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键。

二、函数性质法

使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型。

解题模板：

第一步：构造函数,首先可以把含参不等式整理成适当形式。

第二步：从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。

第三步：得出结论。

三、数形结合法

例：[2017天津文，8]已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）。

A.[-2，2]B.[-23，2]

C.[-2，23]D.[-23，23]

答案：Ａ。

解析：首先画出函数f（x）的图像，当a>0时，g（x）=|+a|的零点是x=-2a<0。零点左边直线的斜率是->-1，不会和函数f（x）有交点，满足不等式恒成立。零点右边g（x）=+a，函数的斜率k=。根据图像分析，当x=0时，a≤2，即0<a≤2成立。同理，若a<0，函数g（x）=|+a|的零点是x=-2a>0。零点右边g（x）=+a<f（x）恒成立。零点左边g（x）=--a，根据图像分析，当x=0时，-a≤2a≥-2，即-2≤a<0，当a=0时，f（x）≥g（x）恒成立，所以-2≤a≤2，故选A。

点评：一般不等式恒成立求参数，可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；也可转化为其它的问题，转化讨论求函数的最值、求参数的取值范围。

例：[2015高考新课标1，理12]设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a,其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）。

A.[-，1）B.[-，）C.[，）D.[，1）

答案:D。

解析：设g（x）=ex（2x+1）,y=ax-a,由题知存在唯一的整数x0,使得g（x0）在直线y=ax-a的下方。因为g`（x）=ex（2x+1），所以当x＜-时，g`（x）＜0；当x＞-时，g`（x）＜0。所以当x=-时，[g（x）]max=-2e；当x=0时，g（0）=-1，g（1）=3e＞0，直线y=ax-a恒过（1,0）且斜率为a,故-a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得≤a≤1。故选D。

名师点睛：对存在性问题有三种思路。思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数小于该函数的最大值（大于该函数的最小值）。思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围。若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解。思路3：分类讨论。本题用的就是思路2。