四川省苍溪县城郊中学校628400
恒成立问题是高考高频考点,在高考中多以选择题、填空题和解答题等出现,其试题难度属高档题。这类问题由于往往既含有自变量又含有参变量等多个字母,且还经常与函数的性质、图像、方程等多种数学分支交汇结合,具有形式灵活、思维性强的特点。解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱,还原函数问题本来面目。处理这类问题最基本的方法有分离参数法、构造函数法、数形结合法。
一、分离参数法
分离参数法的基本思想是将所给的表达式中的常数a分离出来,转化为:1.f(x)<g(a)恒成立f(x)max<g(a);2.f(x)≤g(a)恒成立f(x)max≤g(a);3.f(x)>g(a)恒成立f(x)min>g(a)。4.f(x)≥g(a)恒成立f(x)min≥g(a)。
例1.(08上海)已知函数f(x)=2x-。
(1)若f(x)=2,求x的值。
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围。
解:(1)x=log2(1+2)。
(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1)。∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1);∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞]。
方法点晴:本题主要考查了函数的恒成立问题,其解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想。试题有一定的思维深度,属于中档试题,解答中根据函数的恒成立,利用分离参数法构造新函数,利用新函数的性质是解答的关键。
二、函数性质法
使用情景:对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型。
解题模板:
第一步:构造函数,首先可以把含参不等式整理成适当形式。
第二步:从研究函数的性质入手,转化为讨论函数的单调性和极值。
第三步:得出结论。
三、数形结合法
例:[2017天津文,8]已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是()。
A.[-2,2]B.[-23,2]
C.[-2,23]D.[-23,23]
答案:A。
解析:首先画出函数f(x)的图像,当a>0时,g(x)=|+a|的零点是x=-2a<0。零点左边直线的斜率是->-1,不会和函数f(x)有交点,满足不等式恒成立。零点右边g(x)=+a,函数的斜率k=。根据图像分析,当x=0时,a≤2,即0<a≤2成立。同理,若a<0,函数g(x)=|+a|的零点是x=-2a>0。零点右边g(x)=+a<f(x)恒成立。零点左边g(x)=--a,根据图像分析,当x=0时,-a≤2a≥-2,即-2≤a<0,当a=0时,f(x)≥g(x)恒成立,所以-2≤a≤2,故选A。
点评:一般不等式恒成立求参数,可以选择参变分离的方法,转化为求函数最值的问题;也可以画出两边的函数图象,根据临界值求参数取值范围;也可转化为其它的问题,转化讨论求函数的最值、求参数的取值范围。
例:[2015高考新课标1,理12]设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是()。
A.[-,1)B.[-,)C.[,)D.[,1)
答案:D。
解析:设g(x)=ex(2x+1),y=ax-a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方。因为g`(x)=ex(2x+1),所以当x<-时,g`(x)<0;当x>-时,g`(x)<0。所以当x=-时,[g(x)]max=-2e;当x=0时,g(0)=-1,g(1)=3e>0,直线y=ax-a恒过(1,0)且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a≤1。故选D。
名师点睛:对存在性问题有三种思路。思路1:参变分离,转化为参数小于某个函数(或参数大于某个函数),则参数小于该函数的最大值(大于该函数的最小值)。思路2:数形结合,利用导数先研究函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围。若原函数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方,用图像解。思路3:分类讨论。本题用的就是思路2。