数列的求和方法

数列的求和方法

吕二动

关键词：数列；求和；方法

作者简介：吕二动，任教于陕西省咸阳师范学院附属中学。

数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点和重点。数列中蕴含着丰富的数学思想，而对于等差数列和等比数列而言，我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的前项和，由此对于一般的数列，我们可以从求等差数列和等比数列的前项和的方法受到启发，得到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，只要大家能够理解这些方法的适应范围，并且根据这些方法对新出现的数列都可化为下面的形式，那么数列的求和问题就不会太难。现将这些方法总结如下：

一、公式法求和

对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前项和，在题目里可以直接利用它们求某些数列的和。

二、分组结合法求和

若数列的通项公式为，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组结合法。

三、倒序相加法求和

如等差数列的前项和的求法就是采用这种办法，即一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前项和，这一求和方法称为倒序相加法。

四、错位相减法求和

若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。

五、裂项相消法

若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。

一般地，当数列的通项往往可以将变成两项的差，采用裂项相消法求和

六、转化法求和

转化法就是把非特殊数列的求和问题转化为等差（比）数列求和问题，是一种行之有效的方法。

例6：求

解：此数列的通项为，既不是等差也不是等比数列，但却是等比数列，因此可转化为等比数列求和问题。

七、数学归纳法

在2006年的高考题中，出现了求数列的通项公式，其中要先求出该数列前项和，然后根据其前项和来求其通项公式。在求前项和时没有用到前面我们所提到的几种方法，而是根据归纳猜想验证即数学归纳法来得到的。

例7(2006年全国高考理科22题)：设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…，(1)求a1，a2；(2)求数列的前项和

解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝，

当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，

于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝

(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①

由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝，由①可得S3＝，

由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…

八、构造法求和

1.对于这种类型的数列一般利用待定系数法来构造等比数列，即令则，与已知递推式比较得：即，从而转化为是公比为A的等比数列。

例8：在数列中，若，，求数列的前项和

(2)对于这种类的数列一般把它转化为等差或等比数列，

①若p=q，则化为，从而化为以为首项，公差等于r的等差数列{}后来求和。②若p≠q，则化为，进而转化为类型（1）求通项后再求和.

例9：已知数列{}满足求数列的前项和.

解：∵∴

令，则

∴{+1}是以首项为，公比为2的等比数列

∴

∴得数列{}的通项公式为

即

(3)对于这种类型的数列一般把它转化为，再化为，对照系数，解出x，y，进而转化为类型(1)来求解

例10（2006年山东高考文科）：已知数列｛｝中，，）在直线y=x上，其中n=1,2,3…，求数列前项和.

解析：∵）在直线y=x上

∴①

令，可化为：

与①比较系数得

(4)对于这种类型的数列一般采用取倒数后得，化为类型(1)后求解。

例11：已知数列{}满足a1=1，，求数列{}前项和。

解析：由，得

即：，

∴是以首项为，公比为2的等比数列.

∴即

（5）对于这种类型一般把它转化为等比数列来求解，

①若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为：，得到首项为，公比为r的等比数列{}，所以=，再求和.

②若p≠1，则等式两边取以p为底的对数得：，转为类型（1）.

例12（06年石家庄模拟）：若数列{}中，且，求数列前项和。

解析：∵及知，两边取对常用对数得：

∴{}是以首项为，公比为2的等比数列。

(6)对于这种类型一般采用两端除以得：，再转化为等差或等比数列来求解。

①，则构成以首项为，公差为的等差数列{}。

例13（07保定摸底）：已知数列{}满足时，，求数列{}前项和。

解：数列{}是以首项，公差为2的等差数列

②，转化为类型（1）求解。

(7)对于这种类型的数列一般把它转化为，利用与恒等求出x,y，从而得到等比数列，得=f(n)，进而化为类型（3）。

九、巧用求数列的前项和

例14（2007年福建高考文科）：数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn(n∈N*).求数列{an}的前项和。

解：∵an+1=2Sn,,∴Sn+1-Sn=2Sn,

∴=3

又∵S1＝a1=1,

∴数列｛Sn｝是首项为1,公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).

十、利用导数求数列的前项和

对于一些难求的数列的前项和，如果能把它看成某个已知的和式的导数，那么所求和式就转化为容易计算的导数。反之把一些基本的和式、公式用导数的方法就能得到一些新的求和公式。

例15：求和

分析：当时，易知：

当时，由于，故知数列是等比数列求导而来。

解：（1）当时，；

（2）当时，由于两边对求导得：

，化简得：

总之，只要我们在求和时观察数列各个项的特征，然后灵活运用上述的方法，我相信数列的求和问题就会迎刃而解。

作者单位：陕西省咸阳师范学院附属中学

邮政编码：712000

OnSequenceSummationMethods

LuErdong

Abstract:Sequenceisanimportantcontentinseniorhighschoolmathematics.Thispaperenumeratestenmethodsofsequencesummation.

Keywords:sequence;summation;methods