中学数学创新教育初探

中学数学创新教育初探

胡德喜

胡德喜江西省九江市同文中学332000

根据新的课改精神和教育理念，我们的教育必须在培养学生的创新意识和创新能力上有所突破。教师的角色不再只是知识的传授者，学生也不再是知识的被动接受者，教师与学生是知识的共同再造者。本文试图通过对若干数学例题的分析，阐明在数学教学中如何培养学生的创新意识和创新能力。

人们通常所说的“创新”，是指通过某种智力活动发现未知的东西。其实这只是创新含义的一个侧面，“创新”的另一个侧面是开发人的潜能，创造出一种人们前所未有的认知能力。事实上，每个人都有其潜在的、尚未开发的能力，因而人人都具有创新的可能。认识到这一点，人们就不会对“创新”感到那样的高不可攀。然而，创新毕竟是一项开拓性的工作，因而它需要具备一定的超越原有知识结构的兴趣和冲动。与数学教学相伴的“创新教育”应融于数学教学的过程之中，激发学习数学知识的兴趣，激发学生追求数学规律的欲望，让学生在不断的探索中获得满足。

一、在知识的扩展中培养学生的创新意识

例1、设x>0，求证：x++≥(1)

学生熟悉“算术——几何”不等式，因而容易发现：

x+≥２(2)

此时（x+）-1≤(3)

尽管2+=，但(2)、(3)两式并不能直接相加，如何才能相加？进一步观察能够发现：

(1)相当于不等式：

x+-2+（x+）-1≥(4)

而要证(1)，只要证(4)。但由(2)、(3)有：

y=x+≥2，（y-）2≥（2-）2=

于是（x+-）2≥，于是(4)成立，因而(1)得证。

进一步观察不等式(1)的特点：

x++≥1++=

引导学生猜测，会不会有如下的不等式？

一般情形，设x>0，记f0（x）=x，f1（x）=f0（x）+，f2（x）=f1（x）+，…，fn（x）=fn-1(x)+。

此时，是否会有fn（x）≥fn（1），且等号成立x=1？这一猜想的正确与否，给学生一种悬念、一种“好奇”，唤起了他们的那种创新潜能。

所以，针对式子x++≥容易想到的一个问题

是：

对于+……是否无限增大，

也就是说A2（x）=x+≥2，A3（x）=x++≥，那么A4（x）≥______，一般情况An（x）≥______。

这样对于问题的逐步扩展就可能导致真正的创造性成果。

二、观察与想象是创新的基本途径

例2、在平面上，1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成3或4部分，3条直线把平面分成4或6或7部分，那么在空间中，1个平面、2个平面、3个平面能把空间分成几部分？

同学们自学了课本内容之后，知道空间的平面是无限延展的，那么，要求n个平面最多能把空间分成几部分，首先可观察n=1、2、3的简单情形：

通过观察与想象，学生可得出结论：1个平面最多把空间分成2部分，2个平面最多把空间分成4部分，3个平面最多把空间分成8部分。教师此时还可以进一步设疑：假定n个平面最多能把平面划分为f（n）个部分，能否找到f（n）的表达式呢？

三、恰当地提出问题是创新的一个重要环节

若要培养学生的创新精神，教师就要处处注意创设有创意的问题。

例3、利用数学归纳法容易证明基本等式1+3+5+……+（2n-1）=n2，它可以理解为自然数n的平方可以写成n个奇数的和。教师可以提出问题：

问题1：自然数的立方能否写成n个奇数的和？具体讲，即13、23、33、43……是否可以写成n个奇数的和？学生经过仔细观察、验算，可以列出等式：

13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19

从以上4个等式能否猜想：任意自然数n的立方可以写成连续的奇数的和？如何证明？证明的关键是找到第一个数和最后一个数。

设第一个数为x，从该数开始n个奇数的和

Sn=nx+×2=n（x+n-1），

应该有n（x+n-1）=n3

即x=n2-n+1，所以最后一个数是n2-n+1

即n3=（n2-n+1）+（n2-n+3）+……+（n2+n-1）

=∑[n2-n+（2k-1）]

问题2：n2、n3都能写成n个连续奇数之和，那么n4、5、……又能怎样表示呢？一般地nm（m∈N）是否可以写成n个连续奇数的和呢？答案是肯定的，学生可以按照上述思考方法得出结论，并加以证明。

问题1、2的提出，特别是命题的发现过程，体现了由特殊到一般、由简单到复杂、由感性到理性的认识发展过程，运用了联想、类比、一般化的方法，有利于培养学生的创新能力。

四、善于归纳总结，巩固和提高创新思维效果

数学学习本身应是一个充满创新思维活动的过程，在每一个阶段我们都应该及时地进行归纳、总结、纵横对比、深入挖掘，进行多角度、全方位的探求，努力培养学生的多元化思维和创新意识。

例4、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，求异面直线BD与B1C间的距离。

本题通过常规解法，即把异面直线BD和B1C间的距离转化为直线B1C到平面A1BD的距离，可求得其距离为a。

就这个得出的结果，老师可以引导学生进行思考，得出a是3a的，3a又是棱长为a的正方体对角线的长，因此BD与B1C的公垂线必与正方体某条对角线平行且等于其。下面的学生讨论活跃，一个个在作图比划，容易得出BD与B1C的公垂线PQ平行于对角线AC1，且求得PQ=AC1（如图所示）。

再者，我们还应善于结合一些来自生活、生产的实际问题，引导学生努力探究、认真分析，进行积极训练，如车轮为什么要求是圆的、防洪堤坝加宽加高的土方数等等。这些实际问题既巩固了学生的基本知识，又锻炼了学生综合运用知识的能力，更进一步鼓励学生大胆探求和勇于创新，为全面培养和发展学生的创新精神、创造能力提供了一种有效的方法和途径。