中考数学建模的常见题型

中考数学建模的常见题型

沈华礼

中考数学建模的常见题型

沈华礼

【摘要】数学建模对实践学生来说是难点，强化数学建模的能力能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基础知识，学会数学的基本思想和方法。

【关键词】数学建模；基础知识；基本思想和方法

数学建模对实践学生来说是难点，强化数学建模的能力能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基础知识，学会数学的基本思想和方法。但许多同学在数学建模时不得法，导致失分严重，下面结合2008年部分省市的中考题，稍加分类举例说明。

1.建立“方程组”模型

现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系。“方程（组”）模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如分期付款，打折销售、增长率、储蓄利息，工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决。

例1（安徽17题）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加14%，求这个月的石油价格相对上个月的增长率。

解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x，根据题意，

得（1＋x）(1－x)=1＋14%解得x=1/5=20%

答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%。

2.建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，提示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中的许多问题，诸如计划决策，用料造价、最佳投资、最小成本、方案最优化等问题，常可建立函数模型求解。

例2（黄冈第19题）四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成。书籍每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天生产帐篷20顶，为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷盍的生产方式，生产效率得到了提高，这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一多2项。由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷平均每顶成本就增加20元，设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶

（1）直接写出y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得的最高利润的那天的全部利润捐献给灾区，设该车间每天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出该车间捐款给灾区多少元？

解：（1）y=2x+20（1≤x≤12）

（2）当1≤x≤5时，w=(1200-800)×(2x+20)=800x+8000此时w随x的增大而增大。∴当x＝5时w最大值＝12000

当5<x≤12时，w=[1200-800-20x(2x+20-30)]×(2x+20)=-80(x-)2＋12500此时，抛物线图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，∴当x=6时，w最大值＝11520，∵12000＞11520

∴当x=5时w最大且最大值为12000，综上

该车间捐献给灾区12000元钱。

3.建立“几何”模型

几何与人类生活和实际需要密切相关，诸如航海、建筑、测量、工程定位、裁剪方案、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何”模型把实际问题转化为几何模型加以解决。

例3（天津23题）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼水平距离为66m，这栋高楼有多高？（参考数据：）

解：如图过点A作AD⊥BC，垂直为D

根据题意：∠BAD＝30°，∠CAD＝60°AD＝66

在Rt△ADB中，BD＝AD•tan∠BAD＝66×tan30°＝22

在Rt△ADC中，CD＝AD•tan∠CAB＝66×tan60°＝66，∴BC＝BD＋CD≈152.2

答：这栋楼高约为152.2米。

4.建立“统计”模型

统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实生活中有着广泛的应用，要接受统计观念，最有效的方法是投入到统计的全过程中去，提出问题，考虑抽样，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流，评价怀改进等，并在此过程中学习统计的思想方法。

例4（长春22题）为了培养学生的节约意识，某校开展收集饮料瓶、旧报纸和旧书本的活动，学校对五个班级一周收集的情况进行了统计，绘制统计图如下：已知饮料瓶平均每个值0.1元，根据相关信息，解答下列问题：

（1）五个班级一周收集的饮料瓶共卖多少元？

（2）五个班级这一周收集三种物品共卖多少元？

（3）五个班级这一迥收集的旧书本共卖100元，请补全扇形统计图。

解：（1）∵80＋120＋90＋110＋100＝500个∴500×0.1＝50元∴五个班一周收集饮料瓶共卖50元。

（2）∵50&pide;25%＝200元，∴五个班级这一周收集的三种物品共卖200元。

（3）五个班级收集三种物品所卖钱数的扇形统计图

（作者单位：安徽省全椒县襄河中学）