导数综合应用分析

导数综合应用分析

张海峰黄寒凝

张海峰黄寒凝

摘要：本文结合具体的例题对导数的综合问题进行了分析。

关键词：导数；解析几何；函数；不等式；数列

作者简介：张海峰，黄寒凝，任教于福建省泉州五中数学组。

导数是微积分中的重要基础概念，也是高中新教材改革后新加进的知识之一。从近几年全国及福建省高考试卷分析，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（13分），一小（5分）的两题格局上，是高考命题的一个热点。

热点一：导数与解析几何相综合的题目(主要集中在导数的几何意义的应用上)

函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点P(,))处的切线的斜率，也就是说，曲线在P(,))处的切线的斜率，相应的切线方程为：，于是巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。

典型题例：例1：曲线f(x)=x3-3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程。

误解：f(x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=-3x+16。

剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A(0，16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。

正确解法：设切点坐标，则切线的斜率，切线方程，又因为点M在切线上，所以得

注：区分清楚“在某一点处的切线”与“过某一点的切线”。

例2：设为曲线C：上任意一点，作曲线C在P0点处的切线，与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于，然后再作曲线C在P1点处的切线，交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知，设(n∈N)。

(1)求曲线C在P0点的切线方程；

(2)设(n∈N)，求的表达式；

(3)求值。

解析：(1)y′=3x2，∵P0(9，93)，∴切线P0Q1的斜率，

∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为：y-93=243(x-9)，即243x-y-1458=0。

(2)曲线C在点处的的切线的斜率为，

∴切线方程为，即y－x3n

令y=0，得，即Qn＋1的横坐标为，

又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴Pn＋1的横坐标，由于x0=9，

∴数列是公比为的等比数列，

∴xn=x0·()n=9×()n，则f(n)=9×()n，（n∈N）

(3)==27

点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。

热点二：利用导数研究函数性质

运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。

例3：已知为实数，函数．(1)若，求函数在[－，1]上的极大值和极小值；(2)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．

因此，所求实数的取值范围是。

注：这一类型的题目要注意一个重要的数学思想----分类讨论在解题中的应用。

评注：本题重点考查函数极值与最值问题的求法，运用导数研究函数的性质。这一类题目是各级考试中的常见的题目，也是高考命题的热点，需对此类题目引起高度重视。

热点三：运用导数解决实际问题

学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等实际问题。特别是用导数解决有关最优化的问题，突破了对函数的传统类型的考查，使函数应用题不再局限于常见的二次函数与分段函数，成为我们关注的热点问题。

例4：某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入金额x万元之间满足：①y与和的乘积成正比；②当时，，并且技术改造投入的金额满足：，其中t为常数。(1)求的解析式及定义域；(2)当时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额。

点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。这道实际生活中的最值问题，以往在建立目标函数之后，常常要通过配凑变形转化为符合二元或三元均值不等式的形式求最值。如何配凑，往往是一个难点，不易把握。有了导数知识，求目标函数的最值就变得非常简单。可见，导数的引入开辟了了解最值问题的新途径。

热点四：利用导数处理不等式

主要是利用导数得出函数单调性来证明不等式，利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式或是处理不等式恒成立、有解等相关问题

例5：已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b,证明：0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。

分析：本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理论证的能力。

注：用函数的单调性证明不等式要注意两点：一是构造函数，二是单调区间起点的函数值。

热点五：利用导数研究数列

例6：已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，都有4Sn=(an+1)2,(1)求数列{an}的通项公式；(2)若2n≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。

分析：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则向(2)转化为t≤恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：

法一：研究数列{bn}的单调性。

法二：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故(注：不能直接对求导)

评析：导数的引进为不等式的证明甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。

热点六：利用导数研究方程的解的问题

例7：证明方程x=sinx在(－∞，＋∞)内只有一个实根。

解：设f(x)=x-sinx，即证f(x)=0只有一个实数。

因为f′(x)=1-cosx≥0，其中等号只在孤立点x=2kπ(k∈Z)时成都市立。故f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的。又由于f(0)=0，故当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)＜0，因此f(x)=0只有一个实数根x=0。

注：利用导数证出所构造的函数的单调性再结合连续性来研究方程的根的分布情况是主导思路。

以上是几种常见的导数类型题，由于篇幅的原因无法一一展开分析，导数的引入，为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为沟通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁，只有深刻理解导数作为一类特殊函数其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法，才能在其应用上得心应手。

作者单位：福建省泉州五中

邮政编码：362000

AnAnalysisofComprehensiveApplicationofDerivative

ZHANGHaifengHUANGHanning

Abstract:Thispaperanalyzessomecomprehensiveproblemsofderivativebasedonthespecificexamples.

Keywords:derivative;analyticgeometry;function;inequation;progression