河南卢氏一高王振东
集合是高中数学的重要内容，如何解决集合问题及集合问题所蕴含的思想方法有哪些是本文讨论的主题.
一、函数与方程思想
有些题目以集合形式给出，实质用到函数与方程的思想，就是应用函数的性质或利用函数与方程之间的联系解题.
例1已知,求实数p的取值范围.
分析条件，包含两层意思，一是A空集，二是A中元素是正数.
解析∵，∴集合A有两种情况：
(1)，即方程无实根，∴；
(2),显然0不是方程的根，故方程x2+(p-2)x+1=0有两正根，
则，解得，
综上所述，实数p的取值范围是p<4.
二、分类讨论思想
若集合中出现参数时，需要对参数分类讨论，但应注意到对参数讨论应做到不重不漏.
例2设
(1)若a=1/5，试判定集合A、B的关系；
(2)若，求实数a组成的集合C.
分析(1)由a=1/5，求得集合B，再判定集合A、B的关系；(2)由应分a=0与a≠0两种情况.
解析（1）由x2-8x+15=0解得，x=3或x=5，∴A={3,5}，
若a=1/5，由ax-1=0，得1/5x-1=0，得x=5，∴B={5}，∴.
(2)∵A={3,5},若a=0，则方程ax-1=0无解，B=0,符合，
若a≠0，由方程ax-1=0得，x=1/a，∵，∴1/a=3或1/a=5，解得a=1/3或a=1/5，
故C={1/3,1/5}.
三、等价转化思想
在集合中有时需要化未知为已知，化繁为简，这就是等价转化思想.
例3已知：，若的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
分析把的充分不必要条件等价转化为，进一步转化为子集关系，然后利用数轴列出不等关系.
解析由
由
∵的充分不必要条件,
结合数轴得，解得0＜m≤3.
四、数形结合思想
若集合中的元素有明显的几何意义时，用直观形象的图形语言来反映抽象的集合语言，借助于式的逻辑推理和形的直观性求解，即数形结合思想.
例4设x∈R，A={x|1≤x≤4}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，当时，求实数a的取值范围.
分析借助二次函数图像解题，直观性强，思路清晰，运算简捷.
解析设f(x)=x2-2ax+a+2，判别式△=4a2-4(a+2)=4(a-2)(a+1)，
当△＜0，即－1＜a＜2时，B=o,故；
若B≠o,则f(x)的两根在[1,4]内，综合上述要求，作出二次函数f(x)=x2-2ax+a+2的图像如下：
数形结合可知，
综上所述，实数a的取值范围－1≤x≤18/7.
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