导数应用考点透析

导数应用考点透析

刘聪胜

陕西咸阳市教育教学研究室刘聪胜

考点1：函数的单调性问题

利用导数研究函数的函数的单调性问题，有三类题型：（1）求函数的单调区间；（2）已知函数的单调性求函数参数的范围问题；（3）通过研究函数的单调性研究函数的图像和极值、最值及方程解得个数问题，可以为小题，也可为解答题，小题中档以下难度题，大题为中档题.

例1已知函数，讨论f(x)的单调性.

分析：本题是含参数的单调性问题，利用导数求单调区间.

解：f(x)的定义域为(0，+∞)，

设，二次方程g(x)=0的判别式=，

①当时，对一切x＞0都有f'(x)＞0，此时f(x)是(0，+∞)上的单调增函数;

②当即时，仅对有f'(x)=0，对其余的x＞0都有f'(x)＞0，此时f(x)是(0，+∞)上的单调增函数;

③当即时，方程g(x)=0有两个不同的实根

此时f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为点评：当函数含参数时，求单调区间注意分类讨论.

方法指导：对于函数单调性问题，常有两类问题：（1）求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；（2）已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.

考点2：函数极值问题

函数的极值问题考查形式灵活多样，常与函数的最值、参数问题、方程解得个数问题、不等式证明、实际问题等相结合，考查求函数极值、已知极值求参数、应用函数图像解方程个数问题、求最值及利用最值证明不等式，既有小题又有大题.

例2已知函数

（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率；

（2）当时，求函数f(x)的单调区间与极值。

分析：按求在某点切线的方法求切线，通过解导数大于（小于）0的不等式求单调区间,因含参数，要分类讨论.

以下分两种情况讨论。

（1）

函数f(x)在x=-2a处取极大值

函数f(x)在x=a-2处取极小值

点评：本题考查了利用导数求切线方程、求极值及分类讨论思想，注意求过某点的切线与在某点的切线不同，含参数要分类讨论.

方法指导：对极值问题，有三类题型，（1）求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；（2）已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；（3）已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.

考点3：函数最值问题

函数的最值问题考查形式比较灵活，常与极值、值域、不等式证明、恒成立问题结合，考查利用导数处理最值问题、不等式证明、处理恒成立问题能力，可以是小题，也可能是解答题，小题是容易题，解答题为中档以上难度题.

例3设函数在内有定义。对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则()

A．K的最大值为2B.K的最小值为2

C．K的最大值为1D.K的最小值为1

分析：利用导数先求出函数最值，从而得到K的范围，易求出K最小值.

点评：注意极值与最值的区别与联系.

方法指导：函数最值问题，有两类，（1）对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；（2）对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题或，通过参变分离转化为不等式是自变量，a是参数）恒成立问题，，转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系.