基于最小二乘的牛迭法在微震源定位中的应用

基于最小二乘的牛迭法在微震源定位中的应用

郝硕1张名举1杨中原1谷少强1

1.河北省矿业开发与安全技术重点实验室河北唐山063009

摘要：在对矿山地下微震震源空间坐标确定的过程中，定位的精确程度的提高是矿山安全研究的重要内容之一。采用一种基于最小二乘法的牛顿迭代法的复合算法来求解矿山微震的定位问题，为空间定位提供一种新的思路。通过蒙特卡洛模拟试验进行仿真，利用最小二乘法算出的空间定位结果与实际值之间存在的偏差率在2%-4%之间，利用此定位结果作为牛顿迭代法的初解进行空间位置的二次求解，定位结果在各坐标轴上的偏差率稳定在0.75%，定位精度显著提高，处于可接受范围之内，此复合算法具有一定的工程意义。

关键词：矿山微震震源定位；定位精确度；最小二乘法；牛顿迭代法

1多监测站无源时差定位模型

目前已经掌握的定位技术中，TDOA[1]是一种定位精度高、定位速度快和抗干扰能力强的有稳定性强、通过测量距离差实现的定位技术。每两个基站接收端得到一个测量值，形成一个双曲线定位区，求解他们的交结点并施以附加条件就可以得到移动发射端的确切位置。其中MS为信号发射源，BS和BS1均为基站接收端。

由于震源处于三维空间与时间轴共同存在的四维空间中，因此就需要4个或以上的监测站同时完成被监测信号到达时差的测量与计算。其时差定位原理表示如图1所示：

图1时差定位示意

假设震源坐标为，五个监测站的坐标为其中。震源与监测站的距离为。设定监测站1为主监测站，震源与除主监测站外的各个监测站（监测站2、3、4、5）与主监测站（监测站1）的距离差为。根据时间差定位原理以及各个点之间的几何位置，得到如下关系：

（1）

其中，表示震源信号到达各辅助监测站与主监测站的时差，表示信号传播速度。

2最小二乘——牛顿迭代综合算法

2.1最小二乘法计算初始值

最小二乘法确定空间中某点坐标时，会产生较大的误差，而当需要广泛搜集计算而不过于要求精确度时，可以运用TDOA[2]最小二乘法进行计算。为确定空间坐标，需要至少3个TDOA的测量值，各个震源与监测器之间的距离为，有以下关系：

（2）

为震源和第个与检波器之间的距离及震源和第1个检波器之间的距离差值，满足：

（3）

由上式可知，经过展开与做差，代入取值，得到：

（4）

式（4）可转化为矩阵形式，即使残差平方和满足最小二乘原理，即残差满足最小二乘定理，表示为。若（ATA）为非奇异阵，则得到最小二乘解。

2.2牛顿迭代定位算法

Newton-Raphsonmethod是利用导数进行在实数域和复数域上近似求解方程的方法[3]，其每一步迭代均沿着当前研究点的函数值下降的方向。利用最小二乘法的近似解作为初值，借助牛顿迭代法对结果进行迭代求解，建立的定位模型：

（5）

3算法仿真及分析

在目标定位仿真中，主监测站的坐标为（0，100，200），其他四个监测站坐标为（100，0，200），（100，200，200），（200，50，200），（200，150，200），

微震产生的位置受多种因素的影响，故此处采用蒙特克罗随机模拟算法随机产生8个随机震源，并假设波速为5m/ms，利用基于最小二乘法的牛顿迭代法来对模拟震源进行定位，得到定位结果如表1所示：

表1两种算法定位结果

对上述利用不同方法定位结果的误差进行量化分析，其在各坐标轴的相对误差如下表所示：

表2坐标轴上的相对误差

4结束语

分析表1、2可知利用最小二乘法进行空间定位会产生较大的偏差，其各坐标轴上的偏差值基本占假定空间的2%-4%之间，超出所能接受的最大误差值。而利用二次空间定位的方法，得到的定位结果在各坐标轴上的偏差基本稳定在0.75%。此复合算法为空间定位问题提供了一种新的思路，具有一定的工程和理论的意义。

参考文献：

[1]周美波，吴建星.矿山微震监测中震源定位新方法的应用[J].矿业研究与开发，2015，（09）：81-84.

[2]唐国兴.用计算机确定地震参数的一个通用方法[J].地震学报，1979，（02）：186-196.

[3]张院生，高永涛，王喆，柴金飞，李健.基于SA-PSO混合算法的微震定位研究[J].现代隧道技术，2016，（03）：137-145.