试论高考圆锥曲线解题分析

试论高考圆锥曲线解题分析

刘和玲

昆山市震川高级中学刘和玲

一、引言

圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学的重点之一，也是历年高考数学试题命制的热点和重点；圆锥曲线试题特别是综合题在高考中常处于压轴题的位置，题型变化灵活，能考察学生的能力立意和思维空间，是出活题，考能力的典范；由于向量、导数等新内容的充实，圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展，除了传统的求圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线的位置关系外，还增加开放性、探索性问题等；下面将对近年考题中的圆锥曲线题型进行分析探索。

二、圆锥曲线的考点和难点：

圆锥曲线考查的范围很广，但其主要考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们主要的难点；但我们会发现它就考查了学生对各种圆锥曲线定义，性质及综合知识的的运用，比如在考卷的选择和填空中基本上都考查的是圆锥曲线的基本性质和定义，比如求曲线的标准方程，离心率等，在后面解答题中通常第一问也考查标准方程等，主要是第二问考查的范围就比较广了，比如与函数，不等式，三角形及面积最值等题型结合，难度就大大增加了。

三、对圆锥曲线的基础知识考查：

圆锥曲线的简单基础知识是历年高考的必考内容，主要考查它的标准方程，离心率，焦点，准线等基础知识，最近几年把几何性质和曲线的定义结合在一起考查还是热门题型。

3.1考查圆锥曲线的标准方程：

对这个知识点的考查一般不会很难，都较为基础，只要考生对标准方程公式及重要定义熟悉，都教容易解得答案；例如2010年上海（理）第3题和2010年天津（理）第5题，2009年广东11题，2008年山东第10题等。例1（2010上海）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为。解析：本题考查抛物线定义及标准方程定义知P的轨迹是以F（2，0）为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x。

3.2考查圆锥曲线的定义：

这种题型基本上都出现在选择和填空中，着重考查的就是圆锥曲线的基本性质。在2010年全国卷II（理）第12题和全国卷I（文）第16题，江苏卷第6题和江西卷（理）第15题等都是考查圆锥曲线的定义。

3.3考查圆锥曲线的离心率：

对离心率的考查也是每年高考的主要内容，考查的方式也很多，但归根结底还是考查学生对圆锥曲线基本知识和定义的熟悉程度，在2010年高考中广东文科第7题，辽宁理科第9题以及09年湖南理科第12题，江西第6题，

四、对圆锥曲线与其他知识的综合考查：

圆锥曲线与综合知识的考查是高考中重点内容，主要考查学生对综合知识的灵活运用；可以反应出学生的知识能力，运算能力，探索能力，解决能力等；一般这种题型都是以圆锥曲线为背景，多个知识点相结合，考查知识的覆盖范围广，在历年高考以来都常被作为压轴题；以下是对历年考题进行的主要分类和归纳。

4.1圆锥曲线与面积的综合考查：

圆锥曲线与面积问题的综合考查往往还是圆锥曲线本身的基本性质问题，虽然结合的是面积问题，但很容易返现它考查的范围却很广，常牵涉弦长、点和直线距离等问题，其考查灵活性教大；如2008年天津卷第21题、北京卷第19题；2009年陕西卷第21题；2010年北京卷（理）第19题以及湖南卷第14题。

4.2圆锥曲线与向量的综合考查：

圆锥曲线与向量的结合考查难度这几年都不是很难，基本上都是借助向量的一些基本性质加以过渡，着重考察的是综合知识，如2007年福建卷第20题；2008年宁夏卷第20题、安徽卷第22题；2009年重庆卷第20题、四川卷第7题和第20题；2010年福建卷（文）第11题以及（理）第7题；

4.3圆锥曲线与不等式的综合考查：

不等式因为其本身灵活多变的特点本就是高考中的一大难点，常作为综合压轴大题，当不等式与圆锥曲线结合时，其难度确实有所加大，但只要熟悉不等式的常见基本特性等，解决此类问题难度也不是大；要学会将不等式的基本性质灵活运用，这样就能迎刃而解；如2007年全国卷I第21题；2008年全国卷II第21题；2009年重庆卷第20题；2010年湖北卷（理）第19题。

由上分析大概可以知道圆锥曲线考点总特征；一方面是突出对基础知识与基本技能的考查，对其定义、离心率、准线、焦点、标准方程等基础性知识试题随处可见。所以考生要通过对圆锥曲线基础知识的强化力保基础分不丢；另一方面圆锥曲线作为大题考查时，能体现出“出活题”“思路广”，即重思维又重计算的原则；此类题型考查的知识交汇广，综合性大，一般将向量、三角、代数等知识综合考查，对广大考生而言思维固然重要，但是繁杂，令人“厌恶”的推演，计算，变换过程是少不了的，因此要特别注意选择灵活简洁的解题方法，尽量减少运算；总而言之在准备中考生一定要对圆锥曲线的基本性质、定义和几何意义熟悉，这样在考试中能掌握各类题型的基本原理方法，做到灵活、准确解题方法，正确快速完成。

通过对圆锥曲线基础知识和解题思路的分析，可以知道考查圆锥曲线的形式在考题中是千变万化，知识广泛涉及；面对它这些灵活多变的题型，不仅要对圆锥曲线的基本知识掌握牢固外，还必须得学会对其基本定义和知识的灵活运用，就如我们说的不仅在乎外观，还要把握内在美；以上归结方法是在参阅纵多相关文献后发现有这么一些灵活的题型，然后收集资料总结出这些内容，当然存在很多不足的地方，希望能得到大家的宝贵意见。

参考文献：

[1]傅伟海.圆锥曲线中的位差法[J].数理天地（高中版），2007（5）:46-47；

[2]王天奎.在五种数学思想指导下解圆锥曲线题目[J].中国科教创新导刊,2007(473):99-100；

[3]尚月如.从高考数学试题看圆锥曲线的总复习[J].中学数学杂志(高中),2007(5):44-47；