关键词：导数；函数等式；函数单调性；最值
作者简介：梁建华，任教于河南省西平县高级中学。
我们知道，导数可以刻画函数的特性。学习新课标高中数学的函数时，一旦了解了单调性，就马上有了比较大小、解不等式的题型。可见，不等式与单调性息息相关。而导数又是刻画函数单调性的最佳工具，因此，利用导数来证明不等式也就是顺理成章的。这里，我们先整理一下用导数证明不等式的常用策略。
一、描述单调性，直接证明
此法一般表现为：构造函数，用导数读出函数的增减性；此时，自变量大，函数值就大（小），由此证明出不等。
二、“恒成立”处理，找出最值
导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。
导数证明不等式，已是高考的“常话”，笔者突想，如果哪一天，高考命题者突发奇想，拟出一个用导数证明恒等式的数学问题，这时导数就有了新的诠释，同学们就有了新的视野与见识。接下来，我们再通过一些问题来体会一下，如何用导数来证明恒等式。
分析：待证式中的似乎很眼熟，因此，如果要用导数来证明该等式。我们可以将恒等式认定为导函数的形式。这时，就要思考原函数应该是什么？联想已学知识，自然会想到二项展开式，于是稍做处理，问题可以解决。
点评：相比之下，此法远胜于错位相减法，可见，只要具备良好的观察力，巧妙的转化思维，一些看似复杂的问题也就可以轻松地迎刃而解。
根据“若两个导函数相等，其原函数要么相等，要么相差一个常数”（因为常数的导数为0）得。
我们注意到，用导数证明恒等式，也同样地综合考查了我们知识的掌握程度。由此可见，如果有一天，导数证明恒等式也被搬上高考舞台，那它会让学生和教师学习到更多有关导数的内容。
参考文献：
[1]胡海斌.导数在不等关系证明中的应用[J].考试(高考数学版)，2007（Z2）.
[2]耿敏志.导数在研究函数单调性中的应用和延伸[J].中学数学教学参考，2003(10).
作者单位：河南省西平县高级中学463900
客服QQ：30444492琼网文【2021】1550-113号
增值电信业务经营许可证：琼B2-20210322
出版物经营许可证：新出发龙华出字第(2021)009号
广播电视节目制作经营许可证：(琼)字第00779号
版权所有 ©2002-2024 期刊网 琼ICP备2021005105号
