关键词:导数;函数等式;函数单调性;最值
作者简介:梁建华,任教于河南省西平县高级中学。
我们知道,导数可以刻画函数的特性。学习新课标高中数学的函数时,一旦了解了单调性,就马上有了比较大小、解不等式的题型。可见,不等式与单调性息息相关。而导数又是刻画函数单调性的最佳工具,因此,利用导数来证明不等式也就是顺理成章的。这里,我们先整理一下用导数证明不等式的常用策略。
一、描述单调性,直接证明
此法一般表现为:构造函数,用导数读出函数的增减性;此时,自变量大,函数值就大(小),由此证明出不等。
二、“恒成立”处理,找出最值
导数的另一个作用是求函数的最值,因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。
导数证明不等式,已是高考的“常话”,笔者突想,如果哪一天,高考命题者突发奇想,拟出一个用导数证明恒等式的数学问题,这时导数就有了新的诠释,同学们就有了新的视野与见识。接下来,我们再通过一些问题来体会一下,如何用导数来证明恒等式。
分析:待证式中的似乎很眼熟,因此,如果要用导数来证明该等式。我们可以将恒等式认定为导函数的形式。这时,就要思考原函数应该是什么?联想已学知识,自然会想到二项展开式,于是稍做处理,问题可以解决。
点评:相比之下,此法远胜于错位相减法,可见,只要具备良好的观察力,巧妙的转化思维,一些看似复杂的问题也就可以轻松地迎刃而解。
根据“若两个导函数相等,其原函数要么相等,要么相差一个常数”(因为常数的导数为0)得。
我们注意到,用导数证明恒等式,也同样地综合考查了我们知识的掌握程度。由此可见,如果有一天,导数证明恒等式也被搬上高考舞台,那它会让学生和教师学习到更多有关导数的内容。
参考文献:
[1]胡海斌.导数在不等关系证明中的应用[J].考试(高考数学版),2007(Z2).
[2]耿敏志.导数在研究函数单调性中的应用和延伸[J].中学数学教学参考,2003(10).
作者单位:河南省西平县高级中学463900