初中“实际问题与方程”的教与学

初中“实际问题与方程”的教与学

薛武

薛武（福清华侨中学，福建福州350300）

在初一代数教学中，列方程解实际问题是代数教学联系实际的重要课题，它对于培养学生分析问题、解决实际问题的能力具有重要意义。笔者在初一列方程解实际题教学过程中，发现了学生存在下面几个问题：

1.受小学算术解法思维定势的影响，不习惯用代数方法来分析和处理实际问题。

2.不知道怎样找相等关系，或者有时虽然找到了相等关系，但列不出方程。

3.在一个问题里含有多个未知数时，不知道该选择哪一个未知数来设元。

4.题设中和做答时常常把单位漏写。

5.解题后，对题目所提出的问题，没有做出任何反应，或对答案检验结果是否符合题意不理不睬。

为了解决学生存在以上几个问题，笔者认为在实际教学过程中，可做如下几项工作：

一、通过对比让学生认识到代数解法的优越性

在实际教学中，教师可选择典型例题分别用算术法和代数法进行分析解答，然后指出两种方法的特点，让学生比较。在对比中让学生自己认识到代数法的优越性。

例：甲乙两列火车从相距460千米的两地同时出发相向而行，甲列车每小时行70千米，乙列车每小时行60千米，问几个小时后两列车相距5千米。用算术法解：

（1）求出两列车的速度和为每小时（70+60）千米；

（2）再求出两列车共行驶的路程（460-5）千米；

（3）根据公式求出火车行进的时间为3.5小时。

用代数法解（按列方程解实际问题的一般步骤向学生讲解）：

（1）仔细审题，理解题意，弄清楚已知条件：两火车出发时的距离及它们的车速，用字母x表示两火车相距5千米时所用的时间；

（2）正确找出能表示题目全部含义的相等关系：甲走的路程+乙走的路程+5=两车出发时的距离；

（3）根据相等关系，可列出方程70x+60x+5=460，解方程，得x=3.5.

（4）写出答案（略）。

事实上，利用未知数x，将有关的量用含未知数的代数式表示出来，然后依题意列出方程，最后将未知数求出来，这是执果索因的分析法，便于思考，易于列式，而且将列方程与解方程分开进行，可以分散难点，化难为易，从而体现出代数解法的优越性。学生经过一段时间的训练，便可克服由算术解法形成的思维定势，逐渐体会到代数解法的优越性，顺利地实现从算术到代数的飞跃。

二、教会学生寻找相等关系的方法

仔细分析列方程解实际问题的一般步骤可以发现，列方程中最关键的是怎样在题目中正确“找出能够表示实际问题全部含义的相等关系”来。相等关系有两类：一类是题目中给出的条件等量关系，这类关系对应问题中的主要量在一般情况下是变化的，属于“动态”问题；另一类表示各种量之间内在规律固有的等量关系。这类关系对应的问题中的主要量在一般情况下处于稳定状态，属于“静态”问题。

因此，寻找相等关系的一般方法有两种：

1.对于“动态”问题中的相等关系，可在发生变化的事物中来找，对于发生量变的事物，可以从“量”的方面来找，也可以从“质”的方面来找。例如应用题中的和、差、倍、分问题，等积变形问题，追及问题，相遇问题，劳力调配问题等都可以从量的方面按事物发展的顺序找到相等关系。

例：父子二人在400米的环形跑道上跑步，父亲每分钟跑240米，儿子每分钟跑200米，二人从同地同时反向出发，几分钟后父子两人相遇？

分析：这是个同时反向出发的环形道路相遇问题，这个问题中的两个量父与子都在跑步，他们二人离出发点的路程时刻都在变化着，但无论怎样变化，当父子两人首次相遇的时刻，存在着如下和相等关系：父亲跑的路程+儿子跑的路程=环形周长。

2.对于“静态”问题中的相等关系，可在事物之间的内在联系中找到相等关系。因为处在“静态”问题中的几个事物之间，必然存在着一种数量上的联系，因此要根据这种数量上的联系找到相等关系。

例：地球上水面面积约是陆地面积的2倍，地球的表面

积约等于5.1亿平方公里，求地球上陆地面积是多少（精确

到0.1平方公里）？

分析：这个问题中涉及三个量：水面面积、陆地面积和地球表面积。我们可以认为它们是静止不变的，它们之间很明显地存在着一种“静态”的相等关系：陆地面积+水面面积=地球表面积。

三、教给学生解实际问题常用的三种分析方法

1.代数式法。在正确分析题意的基础上，将题目中的数量及各数量之间的关系，用代数式依次表示出来，再根据各代数式之间的内在联系，找到相等关系，列出方程。此法多用于工程问题、按比例分配问题等。

2.图示法。对于一些较直观的问题，可将题目中的条件及它们之间的关系，用简单明了的示意图表示出来。然后根据图示中有关数量的内在联系，找到相等关系，列出方程。此法多运用于行程问题、劳力调配问题等。

3.表格法。将题目中的有关数量及其关系填在事先设计好的表格内，然后再根据表格逐层分析，找到各量之间的内在联系，从而找到相等关系，列出方程。此法多用于溶液浓度问题、工程问题等。

四、通过典型例题引导学生逐步掌握设未知数的技巧

设未知数，是列方程解实际问题的第一步。在一个具体问题里，如果含有多个未知数而又只允许设一个未知数时，到底该选哪个未知数来设元，初学者往往难以掌握。教师应利用一些典型例题教会学生设元的方法。一般来讲，设未知数有两种方法：

1.直接设元法。即题目里问什么，就设什么做未知数。这样设之后，只要能求出所列方程的解，就可以直接求得题目所问。在多数情况下，实际问题都可以用直接设元法来解。

2.间接设元法。有些问题中，若采用直接设元法，则不易列出方程。这时可考虑采取间接设元法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解的目的。例如，按比例分配问题，和、差、倍分问题，整数的组成问题等均可用间接设元法。

数学实际问题的教学，是理论与实践联系的具体表现。

在教学过程中，要注意整个教学的发展过程，培养学生的数学创新意识，使之能够运用所学的知识解决生产和日常生活中的实际问题。