数学教学中类比能力的培养

数学教学中类比能力的培养

曹学光

曹学光（固安县公主府中学河北固安065500）

1．理解类比涵义，奠定类比基础

数学中可利用多种形式向学生介绍类比涵义，类比模式，使学生对类比推理有一个初步认识，逐步形成类比意识。

所谓类比（简称类比）是依托两个或两个数学对象的相似性，有可能把一个数学对象已知的特殊属性迁移到另一个数学对象中去，就迁移过程来说，有些类比具有明显性、直接性，简称简单类比。如有一元二次必有两个实根或复根（重根计算在内）容易类比出：一元三次方程很可能有三个实根或复根，由全等三角形的全等条件很容易就可以类比出相似三角形的相似条件。而有些类比是需要建立在抽象分析的基础上才能实现，称为复杂类比。如：由三角形的三内角平分线相交于一点而且这点是内切圆圆心，可以类比联想出以下的猜测：三角形三边中垂线相交于一点，而这点是三角形外接圆的圆心。

2．介绍类比功能，激发类比兴趣

爱因斯坦说“兴趣是最好的老师。”学生类比能力的提高很大程度上依赖于自主的参与类比过程，亲身感受到类比的作用和意义。因此，教师要在如何激发学生积极参与类比上下功夫。

2．1联系日常生活实例，激发类比兴趣。鉴于数学中定理、法则、公式往往需要记忆的特点，教学中可结合日常生活中有关常识的启示来帮助学生认识类比的功用。据报载，科学家们经研究发现，人在躺着时比坐着能更快的记住东西。其理就是，人躺着时脑中的血液流量较大，刺激大脑兴奋，增强记忆效果。由此而联想出有否另一种更好的记忆姿势呢？显然，一个可能的答案是：倒立是最好的记忆姿势，因为，这时大脑中的血液流量最大！这一事例使学生感到类比推理并非高不可攀，深不可测，只要细心观察，类比就在眼前，一种跃跃欲试的心情油然而生。

2．2介绍科学发明史，激发类比兴趣。历史上有许多杰出的科学家，可以说无一例外的都是善于应用“类比”去发现真理地能手。英国著名的生物学家达尔文就是其中之一。

达尔文的妻子是他的表姐，婚后生了十多个子女，但个个都体弱多病，有的终生不育。有一天，达尔文从植物异花受精和自花受精实验中发现，异花受精的后代较优，自花受精的后代较弱的结论。他运用类比，把自花受精和人类近亲结婚相比较，才发现他的子女体弱多病，乃是由于近亲结婚所致。他的这一发现已被人类繁衍的实践所证明。

数学中的许多概念、定理等正是经过不断类比逐步引申、拓广、深化的。我们熟知的式、整式、分式、方程等概念在小学数学教材中就可见到他们的雏形：数、整数、分数、等式等。在几何学中，类比更有广泛的应用。如：在学习等腰梯形的时候可以类比等腰三角形等边对等角的性质得到等腰梯形同一底上两底角相等。再如：圆锥的体积公式可以由圆柱的体积公式类比得到。学生亲自通过实验感受这一推导过程，无不会受到类比推理及其功用的愉悦，探索，求知的欲望和兴趣油然而生。通过这一实例的演练，学生不仅学到了从“已知”获取“未知”的方法，而且发展了创造性能力。

3．挖掘类比素材，创设类比情境

数学知识是相互联系、相互勾通的。数学中可以启发学生从知识的顺延、从属、引深、互逆、相似等方面考虑和发掘类比因素，抓住新旧知识的共同性质加以分析、比较，逐步引导学生由已知发现未知，同时应注意恰到好处的构筑类比“舞台”，使学生独立自主的参与类比发现的过程。

学生学习查立方根表的知识完全可由学生自主获得，教师只需稍作启发或铺垫。由于学生已经掌握了查平方根表的方法，且发现立方根（未知）与平方根（已知）的共性是方根，不同的是平方根的根指数是2，立方根的根指数是3.因此，自然会先联想到查平方根表的方法：查平方根表时要两位两位的移，每移动两位，查得的结果要想相反方向移一位。类比上述方法，不难知道，查立方根表时要三位三位的移，每移动三位，查得的结果向相反结果移动一位，这样学生会轻松的掌握查立方表的方法。

4．寻觅类比对象，掌握类比方法

教学中仅靠教师精心挖掘类比素材还不够，还要着力培养学生独立寻觅类比材料的能力，史学生从“学会”类比，到善用类比，用好类比。

要引导学生平时注重类比素材的探寻，类比方法的归纳、总结。如新知识与旧知识在哪些方面具有类比性，可用何种类比方法推出新的结论等等。就寻求两个数学对象的类比性来看，有两条途径：一是属性类比，二是关系类比。前者就是从数学对象的某些属性相同推想它们的其他属性也相同；后者是把数学对象看作是一个具有多种属性的统一整体。用辩证唯物主义的观点去分析研究问题，从而获得所考察对象的新认识，就寻求类比对象的主要方式来看，中学数学最常用的有：已知与未知，正面与反面，多元与少元，主元与次元，高维与低维，一般与特殊，局部与整体，数与形，相等与不等，常量与变量，运动与静止，有限与无限等。在学习一元一次（二次）不等式时，引导学生观察它的结构特征，便不难发现它与一元一次（二次）方程在形式上有很多相似之处，进而借助于已知与未知的类比得出解一元一次（二次）不等式的步骤。再由相等与不等的类比得出：不等式的解应表现不等式，即是一个确定的范围，而不是等式（确定的数）。

中学数学应用类比法来发现问题或解决问题的实例比比皆是，只要我们做培养学生类比能力的有心人，学生定会感到数学课其乐无穷，其创造力也会不断发展。

类比是一项探索性或发现性活动，因而常常会遇到一些意想不到的困难，这就要求我们数学教学在重视学生类比能力培养的同时，不应忽视学生非智力因素心理品质的优化。很难设想，一个没有坚定信念，缺乏顽强意志力的人能在数学的发现或创造上有重大突破。