让“基本图形”走一步，再走一步

让“基本图形”走一步，再走一步

钱绿英

——再探“一线三等角”，有效提高学生解题能力

钱绿英

摘要：任何一个复杂的几何图形往往或是基本图形的变式，或由若干个基本图形组合而成，几何教学中引导学生建立基本图形，并发挥“模型”的教育功能，对锻炼学生的思维、提高学生的解题能力很有帮助。本文基于平时教学实践中对相似三角形中“一线三等角”这一基本图形的提炼、运用、感悟，进而拓展使之升华，将复杂问题简单化，使学生能抓住问题的本质，学会归类，继而做到触类旁通，从而有效地提高学生的解题能力。

关键词：基本图形；一线三等角；模型；思维；能力

《数学课程标准(2011版)》中关于“几何直观的培养”中指出：要掌握、运用一些基本图形解决问题，把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，在教学中要有意识地强化对基本图形的应用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆的结果，这应该成为教学中的目标。波利亚在《数学的发现》中认为：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练”。解题在数学学习中有着不容置疑的重要性。笔者认为引导学生理解数学问题的本质，从数学问题中提炼出基本图形，并学会从复杂图形中分离出基本图形，灵活运用基本图形对解决综合问题，提高几何解题能力有较大的帮助。因此，笔者想结合多年的教学实践积累，谈谈自己对“一线三等角”这一基本图形的认识和看法。

一、从习题中提炼基本图形，激发学生归纳意识

在几何领域中，组成一个几何问题的图形是最简单、最基本、最重要但又是具有特定的性质，能明确地阐明应用条件和应用方法的图形，称为基本图形。基本图形往往在定理或典型的习例题的问题中给出。

问题：如图1，B、P、D三点共线，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且PA⊥PC，图中两个三角形相似吗？请说明理由。

针对这个题目，我们要迅速把握题目的内涵，从而挖掘题目中的内在联系，引领学生进行变式，把条件中三个“直角”换成“60度角”或“130度角”等，推广到一般情况：如图2，B、P、D三点共线，∠B=∠APC=∠D=°则△BAP∽△DPC。

我们要利用学生思维的正迁移，通过学生的类比探究，感受图形变中不变之处，进而提炼出基本图形——“一线三等角”，化特殊为一般，培养学生的几何建模意识，激发学生探究与归纳知识的意识；同时让学生感受到数学图形的奥妙，引发学习数学的兴趣，调动学生学习的积极性。

二、在应用中分解基本图形，提高学生的识图能力

识图即是从几何图形中准确地分解出基本图形的能力，而基本图形的直接应用能加强基本图形的“模型”意识感，这种意识感才能产生一种内驱力，完成基本图形在几何图形中的分解，提高学生的识图能力，为解更复杂的命题做准备。

【例1】如图3两个等边三角形△ABC与△EFG，E、F分别在AB，BC上，写出图中与△BEF相似的三角形。

略解：由已知可得∠A=∠GEF=∠B=60°；∠B=∠EFG=∠C=60°从图形中分解出“一线三等角”基本图形得到：△CFN、△AME与△BEF相似，易得△GMN与△AME相似，所以与△BEF相似的三角形有△CFN、△AME、△GMN。

【例2】如图，一条直线与反比例函数的图象交于A(1，5)，B(5，n)两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C，(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；(2)如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点，试说明△CDE∽△EAF。

略解：(1)①用待定系数法得②易得n=1；过点A(1，5)、B(5，1)直线解析式为：y=－x+6，则点D为(6，0)；(2)因为AC⊥x轴，AC=CD=5，则△ACD为等腰直角三角形，所以可得∠CAE=∠CDE=∠FEC=45°，从图形中分解出“一线三等角”基本图形得到△CDE∽△EAF。

从例1、例2中发现，虽然是比较复杂的图形，但是我们可以在分析中找到基本图形的条件并分解出这样的基本图形，从而轻松发现相似三角形。实践证明分解法是帮助学生在识图旅途中拾级而上的得力“拐杖”，而模型的定格作用常能迅速抓住问题的核心，使复杂问题迎刃而解。

三、在变式中感悟基本图形，宕开学生解题思路

数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。学生在例1、例2中已获得了一定的经验，笔者通过对以“一线三等角”为载体的命题的题设、结论、图形等多种变式途径帮助学生对“一线三等角”基本图形进行多角度，多层次的思考，强化学生对基本图形的理解。

【例3】如图4，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的长度。

略解：已知条件AB=AC，则∠APD=∠B=∠C得“一线三等角”基本图形可以证明△BAP∽△CPD，由对应边成比例得CD=4.8

变式1：特殊点下“一线三等角”基本图形的特性

如图5(甲)旋转图4中的∠APD使AP边与AB边交与点E，则∠EPD=∠B，将“BP=12”这个条件改为“点P为BC为中点”，保持其他条件不变。

(1)求证：BEP与EPD相似；

(2)在∠EPD绕点P旋转过程中，点P到ED的距离是否发生改变，说明理由；

(3)如图5(乙)，旋转∠EPD使角的两边分别与BA的延长线和AC分别交与点E，D，(1)(2)中的两个结论还成立吗？

略解：(1)由“一线三等角”基本图形得到△BEP∽△CPD得到比例式，由BP=PC，∠EPD=∠B得△BEP∽△PED(2)由△BEP∽△PED得∠BEP=∠DEP利用角平分线性质定理可得点P到ED的距离不变；(3)成立，同理。

学生在变式1中感悟“一线三等角”基本图形在特殊情况下的特点：

①如图5甲、乙，点P为BC的中点时，绕顶点P旋转∠EPD中始终有△BEP∽△PED∽△CPD，则EP、DP分别为∠BED和∠CDE的角平分线，所以点P到ED距离保持不变；

②还可以让学生思考若P是BC上一个动点，何时BEP与EPD相似？当点P为BC中点或ED∥BC时△BEP∽△PED∽△CPD。

变式2：动态中的“一线三等角”基本图形的规律

如图6，在△ABC中，AB=AC=10，点P是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠EPD=∠B=，PD交AC于点D，PE交AB于点E，且BE=8，cos=

(1)当BP=8时，△EBP与△PCD全等；

(2)当点P在BC上移动时，△PDC是否有可能是一个

直角三角形？若有可能请求出BP的长；若不能请说明理由；

(3)当点P在BC上移动时，△EPD是否有可能是一个等腰三角形？若有可能请求出BP的长；若不能请说明理由。

略解：变式1中由基本图形已得△BEP∽△CPD，(1)由BP=8得CP=8即△BEP∽△CPD相似比为1，即全等，是“一线三等角”基本图形的特殊情况；(2)因为△BEP∽△CPD，把△PDC为直角三角形转化为△BEP为直角三角形，得BP为10或6.4；(3)当PE=PD时，△EBP与△PCD全等，BP=8；当EP=ED时，过点E作EFDP(图略)则DP=2PF，由△BEP∽△CPD得，求得BP=3.2；当DE=DP时，同理求得BP=11。

学生在变式2求解中体会到点P在BC上移动时，虽△BEP、△PED、△CPD形状发生了改变，但“一线三等角”基本图形一直存在，△BEP∽△CPD始终成立，所以在满足一定的规律下这三个三角形会成为特殊三角形：

如图6，当∠EPD=∠B=∠C时

①当△PDC为直角三角形时，则。反之也成立；②当△EPD为等腰三角形时，设△CPD∽△BEP的相似比，则。反之亦成立。

变式1、2从不同层面研究“一线三等角”基本图形，从易到难，层层推进，步步深入，使学生感悟到了这一基本图形的特性及规律，加深了对基本图形的把握，培养了思维的深刻性；另方面通过一题多变，将一个问题从多角度来研究的形式使学生从单一的思维模式中解放出来，从而培养学生联想、转化、推理、归纳分析问题和解决问题的能力。

四、在拓展中构造基本图形，锻炼学生构图思维

基本图形往往具有典型性，又具有迁移性和延伸性。将基本图形进行适当拓展，一方面可起到举一反三之效，另一方面可开阔视野，培养探索和创新精神，从而提升解题能力。将“一线三等角”基本图形进行拓展：如图7，点P在直线BC上时(即点B、P、C三点共线)，∠APD=∠ABC=∠ACB=°，则△BAP与△CPD相似.

【例4】(1)在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC。①若点P在线段CB上（如图8），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；(2)正方形ABCD的边长为5(如图9)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持∠APQ=90度。当CQ=1时，写出线段BP的长(不需要计算过程，请直接写出结果)。

略解：(1)①根据已知条件AB=AC，则∠APQ=∠B=∠C得“一线三等角”基本图形，可以证明△QCP∽△PBA，由比例关系式得出CQ=；②当点P在线段BC上时，由△QCP∽△PBA得(0＜x＜8)；当点P在CB的延长线上时即为“一线三等角”基本图形的拓展图(如图8甲)，得△QCP∽△PBA，所以(2)分类讨论如图9甲，满足条件的分别得

此例题其实是对“一线三等角”基本图形进行了拓展，对此题的解答，更深化了学生对基本图形的理解，培养了学生基本图形的灵活构图能力；同时对减轻学生负担，将学生从“题海”中解脱出来，训练和培养学生思维的创造性和灵活性有一定的促进作用。

以上我们通过对“一线三等角”这一基本图形的提炼、合理运用、巧妙分离、拓展应用，提高了学生观察、归纳、分析、识图、构图的能力和解决问题的能力。波利亚曾说过：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在四周找找，很可能四周就有好几个。”这句至理名言寓示着解题本身就是一个“串点成线”的过程。因此，在解题过程中，要加强对基本图形的研究，不断挖掘基本图形的内在潜能，将基本图形有效的串联起来，从而展示知识的联系性，启迪学生思考、探求、归类，有效地帮助学生提高复习的效率，增强学生综合运用知识的能力。

参考文献：

[1]张俊.基于案例分析的初中数学几何基本图形教学探索[J].兵团教育学院学报，2015(2).

[2]张明保，黄燕红.浅谈几何基本图形的建模思想[J].解题技巧与方法，2014(12).

[3]王元友.基于“一线三等角模型”的创新能力综合题设计[J].中国数学教育，2012(5).

(作者单位：浙江省诸暨市马剑镇中311800)