试述函数在问题解决中的地位和作用

试述函数在问题解决中的地位和作用

罗翁措

【关键词】函数初等函数高斯函数

中图分类号：G63文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2018）05-070-02

问题就是意味着寻找适当的行为，已达到一个可见而不立即可及的目标。指那些并非可以立即求解或较困难的问题。那种需要探索、思考和讨论的问题。而函数思想的实质，是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点寻找数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。因此在问题解决中我们不得不提在数学理论中扮演重要角色的函数。本文将概述函数在问题解决中的地位和作用。

1.函数

1.1函数概念的产生

今天的数学起源于古希腊数学，但在古希腊数学中，完全没有函数之类的概念，也没有人想过。然而，在古巴比伦数学中，曾出现过函数性质中的一些内容。其后“对数”理论形成成为了最初函数概念的萌芽。随着，伽利略（1564-1642）自由落体法则y=gx²与费马（1610-1650）和笛卡尔（1596-1665）利用曲线的形状考虑了独立变量x和从属变量y的关系的出现，函数的概念也得到了发展。最后微积分的创始人——莱布尼茨（1646-17160）写了一篇名为《有关切线的逆反方向即函数》的论文中，首次给出了“函数”这个名称。设曲线上的点在运动，曲线上动点相应的切线和曲率被莱布尼茨称为动点的函数。

1.2函数的定义

1.2.1初等数学中的定义

有两个集合X和Y，若X中的元素确定了一个，与之对应的Y中元素也就确定了一个，这种“对应”被称为从X到Y的函数，为了表示函数，一般用x代表X的元素。对应于x的Y中元素用y来表示。写作x→y(x∈X,y∈Y)如下图所示。

1.2.2高等数学中的定义

设A表示非空数集，若存在对应关系f，对A中任意x（x∈A）,按照对应关系f对应唯一一个y∈R。则f是定义在A上的函数，表为f:A→R数x对应的数y称为x的函数值，表为y=f(x).

2.初等函数在解决数学问题中的地位和作用

2.1初等函数及地位

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数，这六类函数称为基本初等函数。凡是有基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合所生成的函数称为初等函数。

初等函数是初等数学的重点内容之一，又是初等数学进入高等数学的枢纽。因此函数的概念，性质，函数思想及其应用是初等数学的重要组成部分。所谓函数思想就是运用运动变化的观点进行变换的思想。它包括了运用各种数学方法和数形结合进行转换来研究函数及性质，以及函数应用。从而解决数学中的疑难问题。

2.2应用初等函数的性质解决数学问题

2.1.1对数函数性质的应用

归纳：以1为分界点，当a,x同侧时，y>0

当a,x异侧时，y<0

2.2.2常数函数单调性的应用

定理：若n,∈N。且n>.f(n)是常数n的单调递增（或单调递减）函数。且f()≥m（或≤M）

【例】求证：当n是不大于3的整数时，有n>(n+1)

证明：设f(n)=n∕(n+1)

则f(n+1)∕f(n)=∕

=()<1

f(n)是单调递减函数

又f(3)=4∕3=64∕81<1

故f(n)<1即n>(n+1)

2.2.3三角函数对称性灵活应用

函数y=Asin(x+)的图像有无数条对称轴和对称中心，在解决与三角函数y=Asin(x+)图像的对称轴有关的问题时，可以化归函数y=Asin(x+)。联想“五点法”，将函数y=Asin(x+)的对称轴转化为最简单的函数y=sinx的对称轴问题，使思路更加清晰。

2.2.4以高斯理论创新型试题的求解策略

高斯函数y=[x](也称取整函数)是一个常用函数，它的形式简单，但性质独特，且在求极限，求导，求定积分解方程及初等数论中都有广泛的应用。因此近年来，纵观全国各地中高考及各类竞赛试题，一些内容立意深刻，情境设置精巧，设问方式灵活，题型结构新颖的创新型试题给试题增加了不少难度。下面将利用高斯函数进行探索。

定义：按实数的定义，对任一实数x，总有x=n+a,nz.0<a<1.

这样的n通常记为[x].即[x]表示不大于x的最小整数，称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数。其图像见下图。

【例】设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2.[]=1）对于给定nN.定义=，x[1,）

则当x∈[,3)时。求函数的值域

解：依题意，当x∈[,3)时，[x]=1.此时=[4,]

当x∈[2,3)时，[x]=2.此时==

(,28)

即当x∈[,3)时。函数的值域是（4，]（，28

本题定义了一个新函数，把组合数公式与高斯函数=[x]两者结合起来。解此题的关键是理解[x]的意义。把化为我们熟悉的函数，从而求出其值域。它考察了学生对信息的接受，理解和运用的能力。

3函数理论在解决问题中的地位和作用

函数理论远远不止应用于数学范围，在自然科学，工程技术，甚至到某些社会科学中，函数被广泛应用。在数学中函数处于基础的核心地位。函数不仅是贯穿于中学数学的一条线，也是高等数学的研究对象。

3.1函数理论在解决高等数学问题中的应用

3.1.1函数最值的性质应用

定理1.设(x)(iu=1,2,……n)均为实函数，M为实数，若(x)≦M或（(x)≧M）（i=1,2,……n）,则=nM(x)=(x)=……=(x)=M

【例】解方程组

解：方程两相加，得+++++=6

设(x)=+(y)=+(z)=+

显然有(x)≥2(y)≥2(z)≥2

又(x)+(y)+(z)=6=3×2

由定理1知(x)=(y)=(z)=2

由+=2得x=1同理y=1,z=1

故方程组的解为x=y=z=1

3.1.2函数奇偶性的应用

利用函数奇偶性求函数的值的关键在于，充分利用已知条件。构造奇、偶函数，从而巧妙地应用函数的奇偶性去解题。

【例】f(x)=ax+bx+cx+dx+5(a,b,c,d是常数。且a0

f(-7)=-17试求f(7)

解：f(x)-5=ax+bx+cx+dx是奇函数

f(-x)-5=-[f(x)-5]

即f(x)=10-f(-x)

f(7)=10-f(-7)=10+17=27

3.1.3函数单调性的应用

对某些函数来说，其单调性并不难应用。简单的方法加以确定。而这些函数的单调性又为解某些数学学问题提供了依据。

【例】将不等式（5x+3）+x+6x+3>0

解：将不等式写成（5x+3）+(5x+3)>-x-x

令f(x)=x+x则不等式可写成f(5x+3)>f(-x)

显然f(x)在R上单调递增

不难证明

f(5x+3)>f(-x)等价于5x+3>-x

故原不等式的解是x>-

3.2函数理论在解决实际问题中的应用

3.2.1期望效用函数理论及应用

（1）期望效用函数理论

效用函数

何谓效用？商品有商品的效用，财富有财富的效用，技术有技术的效用。在经济领域，效用是指消费者在消费物品时所获得的满足程度。显然，消费者从不同商品的消费所获得效用是各种商品消费量的函数。用U表示消费者在一定时期内消费各种物品所获得的效用总量，以、……分别表示n种消费物品X、X、……、X的消费数量，则效用函数表示为

Ｕ=f(、……)

一般地，Ｕ是消费量的增函数，即消费量越大，效用也越大。期望效用函数

当效用函数遇到不确定现象时，就会难以确定它的值，这就引出了期望效用的概念。用数学的语言来描述如下：投资的效用是一个随机变量u，它可能取两个值（和），

=u()，i=1，2，

并且u=概率分别是和，那么u的期望值Eu=﹢就是投资的期望效用。对于期望效用函数，它的数学性质可以反映人的行为特性。因为期望效用是不一定能实现的，真实的效用会比它高，或比它低，有不确定性，达不到预期的效用，就造成了损失，形成风险。对待风险的态度可分为三种：厌恶、中性、喜爱，这三种态度用数学的语言描述如下：

1.若效用函数是凹函数，即

u(Ex)>Eu(x)，

则相应于风险厌恶者；

2.若效用函数是凸函数，即

u(Ex)<Eu(x)，

则相应于风险爱好者；

3.若效用函数满足

u(Ex)=Eu(x)，

则相应于风险中性的人。

一般而言，引入期望效用，其研究目的，就在于分析在风险条件下的消费者或决策者的行为，常常是面对现实生活中不确定的风险条件下决策者应该怎样行动的研究。

（2）期望效用函数理论在图书馆管理中的应用。

图书馆图书开架阅览室图书馆的发展趋势。然而，开架借阅除了给工作人员带来繁重的整架工作外，图书的丢失量亦日趋增多，这给管理者带来了新的问题。我们不妨用期望函数分析如下：现假设窃数着效用函数为u=(M为所持货币：1000元)，窃书一次能带来相当于10的利益，一旦被管理员发现并除以罚款的概率为0.1，罚款数量为20元，则不文明读者不进行窃书行为的效用：u==31.626,不文明读者进行窃书行为的期望效用为E(u)=0.9×+0.1×=31.732

显然E(u)>u,即不文明读者进行窃书的期望。属于风险爱好者，即使面临被罚款。窃书行为仍会进行，从期望效用函数上分析可知。图书馆管理者可以从两个方面上这手改善:

其一，加强监督力度以及提高被罚款的概率，在上例中把被处罚的概率提高到0.5时，则有

E(u)=0.5×+0.5×=31.542,E(u)u

即不文明读者进行窃书的期望效用小于不进行窃书行为的效用，属于风险厌恶者，则可制止窃书行为的发生。在这需要读书馆加大巡架力度，增加监察成本。

其二，还可以增加罚款数量。在比例中把罚款数量从20元增加到100元，则有

E(u)=0.9×+0.1×=28.602+3=31.602

E(u)u

同样属于风险厌恶者，可以制止窃书行为的发生，显然，第二种方法优于第一种方法。

总之，函数是数学的重要内容之一，其理论和应用涉及数学的各个分支。特别是高中阶段，函数时贯穿整个高中数学的一条主线，函数思想是最重要、最基本的数学思想方法之一。著名数学家M.克莱因说过，一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考。在教学中，我们不仅要教会学生根据实际问题建立函数关系，而且要注意函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数的最值和图像在解题中的应用。这里所说的函数思想是指运用函数的概念和性质取分析问题、转化问题和解决问题。

参考文献

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5、李淼.《函数性质在解决中的应用》.淮南师范学院学报.2009年第3期

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7、胡霞.《从高斯函数谈创新型试题的求解策略》.数学教学.2010年第3期[图2]