函数的认识与教学

函数的认识与教学

赵文茹王国廷

摘要：通过对函数概念的认识和理解，将其应用于实际教学中，探讨了在讲解函数概念的教学中应注意的问题及如何进行函数概念的教学。

关键词：函数；变量；映射；定义域

Abstract:authorofthefunctionthroughtheconceptofawarenessandunderstandingoftheirpracticalapplicationintheteachingoftheconceptinonthefunctionofteachingshouldpayattentiontotheproblemofhowtofunctionandtheconceptofteaching.

KeyWords:Function；Variables；Mapping；Domain

在初等数学和高等数学中，从不同层次都介绍了函数的概念，并且在高等数学中均以函数为研究对象，足见函数概念的重要。

1对函数的认识

世界上的一切变化的事物和现象（以下简称事象）的变化都是有一定的规律的，而世界上的一切事象又无不从数量方面表现出来，这就是变量。因此变化事象的变化和规律无不从表达着它的变量方面表现出来,它是变量在变化过程中的一种固有的数值变化。这种固有的数值变化规则或依赖关系既是由变量的变化规律所决定的，又是从数值这个侧面表达着变量的变化与变化规律的。因此，这种固有的数值变化与规则或依赖关系，就从数值这个侧面表达着变化事象的变化与规律。而数学正是将这种固有的数值变化的规则定义为函数的。因此函数就从数量这个侧面揭示和表达着变化事象的变化和规律的。

一切事象的变化都是与其它事象的变化相联系的。通过这种联系，就使互相联系着变化着的每一事象的变化规律复合起来，复合成一个新的复合变化规律。如果把每一事象的变化规律称做单一变化规律，把表达单一变化规律的函数称为单一函数，则把表达复合变化规律的函数称为复合函数。这样，就可用单一函数和复合函数去揭示和表达世界上的变化和变化规律，把对事象的变化与变化规律的研究转化为对单一函数和复合函数的研究。

如果将函数作进一步抽象，即将规则、关系、对应、约定抽象为映射，自变量和函数值抽象为原象和象，数的定义域由数集抽象为一般集，那么就得到了实质上仍是函数但又更为广泛得多的现代数学的基本概念——映射。这样就能得到揭示和表达各种变化和变化规律的函数。如从一个实数集到另一个实数集的映射就是实变函数；从一个复数集到另一个复数集的映射就是复变函数；从一般集到数集的映射就是泛函等等。通过对这些函数的研究，就能达到对世界上各种变化事象的研究和掌握。对各类函数进行研究，相应的就形成了数学的各种学科分支。如实变函数论、复变函数论、泛函分析、模糊数学等。由此可见，函数的本质是一个规则、关系、对应或映射，实际上对应、映射、算子等都是函数的同义语，只是在不同阶段上的不同认识罢了。

2函数的教学

2.1通过对函数的上述认识，让学生正确理解函数的定义。一般教材中都是如是定义的“设D是一个数集，如果对于D上的变量x每取一个值，按照某种对应关系f，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y叫做定义在数集D上x的函数”。这一定义一则把自变量的范围定义在数集D上，这样x的值可以是有限个，也可以是无限个；再则按照某种对应关系，这个对应关系可以一个解析式，也可以是多个解析式。例如：f（x）=x2+1，x＞00，x=0-x+1，x＜0是自变量在不同的范围，对应的解析式不同，这样的函数叫做分段函数；函数又是有序数对（x，f（x））的集合，其中起先决条件的是自变量x，另一变量f（x）是由x的确定而确定的。在有序数对集中，当第一元素x相同时，第二元素f（x）必定是相同的，即是一一对应的。在讲解函数概念时，要格外注意解释清楚如何判断哪些量是函数，尤其是y=C（C为常数）、对应关系是多个（分段函数）的量。

2.2分段函数及作图

学生初学时往往会误认为几个解析式就是几个函数，教师要注意强调一个分段函数虽然在不同的定义区间内有不同的表达式，但在它的定义区间内的每一个x值，对应的y值只有一个。求f（x0）时，应注意看x0属于哪一个区间，代入相应的解析式求出。

在作分段函数图像时，其主要步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）弄清在自变量x的不同区间上函数的不同表达式；（3）作出分界点；（4）根据不同的解析式作出每段函数的图像（互相不重叠）。例如作函数

y=x，x∈[，2）-x+4，x∈[2，4）x-4，x∈[4，6）的图像，此函数的定义域是[0，6]，图像由三条线段组成，作出端点O（0，0）、A（6，2）和分界点B（2，2）、C（4，0）；连结线段OB、BC、CA就得到函数的图像了（如图所示），它是由几段折线组成的。

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3函数定义域的求法

在数学解析式中，函数的定义域应是能使式子有意义的所有实数的集合。对于较复杂的函数应注意以下两种情况：

（1）如果函数是经过四则运算得到的，则必须用参加运算的各函数定义域的交集作为所求函数的定义域。

（2）若函数是由两个以上函数复合而成的，如y=f[?渍（x）]的定义域是在?渍（x）的定义域内又能使函数f有意义的那部分x组成。