浅析高考数学中三角函数的新变化

浅析高考数学中三角函数的新变化

王加义

王加义

摘要：三角函数历来是高考数学的重中之重，在主观题和客观题上均会以多种形式出现。它除具有一般函数的性质外，还具有一些独特的性质，如周期性、对称性，因此，三角函数涉及的题型及解题方法在不断发生着变化，并独具新意。这一热点在高考中保持并占据着重要的位置，本文结合往年高考真题，对三角函数的特点及变化进行分析。

关键词：高考数学；三角函数；变化

一、前言

三角函数是高中数学的重要内容，同样也是高考的热点，其内容丰富、公式众多、方法灵活。高考考查的内容包括：三角形中的三角函数，三角函数的图象和性质，三角函数的化简求值，三角函数的最值及综合应用，对考生分析问题和解决问题的能力要求较高。本文从历年真题出发，分析了高考中三角函数这一热点的新变化。

二、高考中三角函数的考查特点

每年三角函数的考查内容都有所不同，但对近几年高考中出现的三角函数题型进行仔细分析和总结，我们就会发现高考对于三角函数的考查具有一定的规律，即在考查内容、分值、题量这三方面保持稳定。考题中除了对内容的考查外，都侧重了考查学生的计算能力、演绎推理能力、综合解决问题的能力等。

当然年年的高考也会出现新的变化，主要体现在出题的新意，往往以新颖的形式出现一些新的题型，特别是一些创新型问题，对绝大多数的同学来说是陌生的，也主要考查学生对重要数学思想方法的掌握情况，以及考试时对自己心态的调整．但解决这些问题有一把“利剑”，就是特殊化方法。特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立，若不成立，则必然选项是错误的。特殊化方法一般有赋特殊值，特殊函数等。虽然三角函数内容丰富，性质广泛，产生的问题多样，但只要掌握了其基本内容，就能很好地利用。全国实行新课程改革以后，高中数学增添了很多与现代生活密切相关，和当代科学技术发展密切联系的新内容，这些内容时代性强、应用性广，自然会会吸引高考命题者更多关注的目光。

三、高考中三角函数的新题型

1.有关三角函数的定理

三角函数是高中数学中所涉及的一种非常重要的函数，它属于初等函数中的超越函数的一类函数。三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数一般情况下是在平面直角坐标系中来进行定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义则是在直角三角形中，但这种定义并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正切、余切、正弦、余弦、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。此类题主要侧重考查课本上的基本知识，主要是三角函数的公式、定理、性质的推导等，要求学生掌握课本上的知识的精髓，不但要知其然，还要知其所以然。引导考生回归课本，重视基础知识的学习和巩固。

2.三角函数的图象和性质

三角函数的图像和性质是高考中对三角函数考查的重点内容。三角函数的图象和性质具有很强的实际作用。三角函数的图像和性质又具有综合性灵活性,是学生解决生活中实际问题的工具，同时对于学生升入高等学府能否学习好高等数学以及应用数学有着决定性的作用，所以高考题中考查这一类内容的比较多。顺应素质教育的要求，近几年的高考降低了对三角变换的考查,那么必然会加大对三角函数图象与性质的考查力度，进而使三角函数的图象和性质成为高考的重点和热点，是三角函数考查的主要题型。

3.三角函数的最值及综合应用

近几年的高考侧重对学生能力的考查，往往在数学知识的交汇点来设计题型，考查学生综合运用知识解决问题的能力。此类问题主要考查三角函数最值、恒等变换、三角函数图像和性质以及与三角函数有关学科内综合问题，如与数列、不等式、解析几何等相结合。多为解答题。而三角函数最值问题仍将是高考的热点。三角函数和数列的主要考查内容是数列基础知识、三角函数的最值问题，同时考察了同学们分析问题，解决问题的能力。

4.包含三角函数的求零点问题

这类题考查的主要内容是三角函数的图像及其性质.解题要点是：根据考题的特点合理运用数形结合法，根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断，或直观观察并作出判断。

5.有关三角函数的定积分问题

此类题考查内容主要是三角函数在定积分中的应用。解题的要点是正确且灵活地运用定积分公式，及三角函数求导的逆用。三角函数的图像、求值及利用定积分求封闭图形的面积方法，定积分是新课标新增内容，有着广泛的应用，这是考查三角函数的新题型，这类题型难度比较低，估计今后也会成为高考的发展方向。另外，新课标引入了导数，导数作为工具往往与三角函数结合在一起一快进行考查。解决此类问题的要点是理解求导的几何意义并熟记三角函数求导公式。这是今后三角函数考察的一个重要方向，也是高考的重点。

四、结束语

高考命题通常以突出能力考查为主旨，侧重学生对三件函数综合性和应用性的考察，在知识的交叉点设计综合类试题，不断求新求变。因此，在指导学生复习时，要切实根据高考大纲指导学生日常学习，让学生掌握数学基本知识，同时，不断容纳新知识，注意新旧知识的融合，培养学生对数学知识的关联能力，提高学生的科学素养及解题能力。

参考文献：

[1]徐旭明.解读高考解答题中的三角函数题[J].数学学习与研究(教研版),2009(5)．

[2]马俊雄.解读高考三角函数[J].考试周刊,2009(16).

[3]郭玉敏.三角函数中变换的灵活应用[J].学苑教育,2010,(1).

[4]魏明志.三角函数基本性质的应用[J].数学教学,2010,(3).

作者单位：浙江省苍南中学

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