从等腰三角形的性质到费马点

从等腰三角形的性质到费马点

叶红

——培养学生自主探索能力的实践与思考

常熟市外国语初级中学叶红

探究式学习的基本特征可以概括为“活”和“动”两个字。活：一方面表现为学生的积极性和主动性，另一方面表现为学习活动的生成性。动：表现为学生真正的动手操作、动眼观察、动脑思考。探究式学习一般有如下的环节：第一步，学生确定要探究的问题，也可以由教师创设问题情境，向学生提出要解决的课题；第二步，学生提出假设，结合课内课外所学作出各种可能的假设；第三步，检验假设，在教师的指导下，根据不同的课题性质，通过思辨、实验、演示等，以讨论的形式检验假设，正确的就可以作为结论，错误的再修正假设；第四步，作出结论，在充分讨论和检验假设的基础上，给出探究的答案．下面是笔者一次初二数学探究性活动设计，供同行们参考。

一、活动内容设计

由等腰三角形的一些性质，通过师生对话及一系列问题的提出，逐步把问题引向深入．促使学生根据已学的有关知识，运用一般化、特殊化等思想方法，在自主探索过程中不断地发现一些有趣的性质，最后得到三角形的费马点。

例题：已知：△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线.求证：BD=CE。

在给出了以上例题后，教师与学生一起由浅入深、由此及彼，逐步探讨如下一系列问题：

问1：题设、结论各是什么？你能按题意画出图形吗?

问2：如何来证明？

问3：有另外的证法吗？

问4：题中条件不变，你还能推出什么结论？

问5：回到原题，你能用文字语言叙述一下吗？

问6：如题中条件稍作变化，你能否得到相应的结论呢？

问7：刚才,我们证明了等腰三角形两腰上的高相等，试问，点B到直线AC的距离与点C到直线AB的距离相等吗？

问8：固定三角形，让点B移动到点P（底边BC上一点），试问，点P到AC的距离与点C到AB的距离有何关系？若PN、PM分别是P到AB、AC的距离，那么PN、PM与CE之间有何关系？

问9：能否证明你的猜想？

问10：你能想出几种不同的证法？

问11：若点P继续运动到BC的延长线上，又会有什么结论呢？

问12：若△ABC是等边三角形，你又有什么新发现？

问13：若△ABC中AB>AC，点P在边BC上，你有什么猜测？

问14：若点P为任意△ABC内一点，它到三边距离之和为PD+PE+PF，对此，你又有什么认识？

问15：若改为点P到△ABC三顶点的距离之和，你又有什么想法？什么时候PA+PB+PC为最小？能证明吗？

二、活动过程设计

“问1”、“问2”意在培养学生的审题、画图、证明等基本素养。活动过程中应重视学生“双基”的训练。

“问3”“问4”则重在培养学生的发散性思维。“问3”是解法开放，应积极引导学生调动自己头脑中已有的知识经验，探寻多种解法。“问4”也就是结论开放，应引导学生展开联想，大胆猜想。

“问5”在于培养学生的语言转换能力。让学生换个角度去叙述问题，把数学符号语言转换成文字语言，学生就较容易想到相应的线段如中线、高是否有同样的等量关系。于是，学生就可能会思考如“问6”的问题。

“问6”与“问7”之间，教师把学生引导到“距离”这一概念上去，加深学生对“距离”概念的认识，另一方面，把问题从“高”这一角度转移到“距离”这一角度，也是一种语言转换。这一转换，“问7”、“问8”也就顺应而出。在此，应使学生意识到问题的不断转换，将有助于新问题的提出，有助于获得新发现。

“问9”、“问10”应使学生通过探寻不同的解法，让学生回顾复习证两线段之和等于一条线段的常用方法（或一般规律）：截取、延长、平移、对称等等，从中探寻一般规律。

“问11”渗透运动的观点，用动态的观点去处理点P跃过点C时的情况。教学中可通过多媒体辅助手段显示点P的运动及PN、PM的变化，让学生通过观察，得出相应猜测及证明。

“问12”、“问13”让学生从特殊化、一般化的角度去加强或减弱条件，并猜测其可能的结果。学会特殊化，学会一般化，学会类比，学会联想，学会猜测。

“问14”中的点P更富有一般性。此时，使学生认识到其结论一般也更具不确定性，但应引导学生思考“是否具有最大值与最小值呢？”

“问15”运用类比，把点到直线的距离变为点与点之间的距离，从而提出了“费马点”。

“费马点”的证明，对初中学生来说是比较困难的，但在前面运用平移、对称变换来证明的基础上引导学生如何将三条线段接起来（运用旋转变换）就不十分困难，分类讨论也就显得自然了。

从简单的等腰三角形性质开始，到比较难证的“费马点”，不同层次的学生都能在探索中回忆、联想、猜测．虽然没有一个个孤立知识点的复习，一个个练习题的操练，却事实上复习了三角形、四边形的一系列概念与性质等知识；虽然没有证明方法的罗列，学生却在探索中总结规律，寻找模式，在反复的特殊化、一般化、类比、猜想中深化数学的思想方法．学生在探究过程中，少了操练性的习题，多了探索性的问题；少了些被动接受，多了些自主性、开放性、探索性、发展性．学生在探究中学习，在开放中发现、创新。