关于周长最小的内接三角形的研究

关于周长最小的内接三角形的研究

冯伟

（四川省绵竹实验学校绵竹618200）

我们先引入一个非常著名的问题——“最短路径问题”。题文如下：在一个平面内有两点位于一条直线同侧，在直线求一点，使到两点的距离和最短。（有两点A、B，直线l，求点P）（如图1）

解决的方法是：作A点关于l的对称点A’，连结A’B交l于P，P则为需求作的点。（如图2）

证明的方法是：在l上另找一点P’，连AP’，A’P’，BP’（如图3）。

由作法可得AP+PB=A’B,AP’+BP’=A’P’+BP’,

因为三角形两边之和大于第三边，故A’P’+BP’＞A’B，依次类推，当P’’无论在直线l上位于与P不重合的点时，总有P到A、B点的距离和小于P’到A、B的距离和。故有P时，P到A、B两点的距离和最短。

于是就可以引入一个变式题，题文如下：

在锐角三角形△ABC中，点D，E，F分别在线段AB、BC、CD上，则△DEF为△ABC的内接三角形（如图4）。试问怎样确定D，E，F的位置，使C△DEF最小。

在此问题中三点均为动点，所以先确定一点再找另亮点的位置，如图5。在BC上找任一点E，再确定D和F。按照我们在“最短路径问题”中的思维——“两点之间线段最短”，即把C△DEF中的DE，EF，DF摆在一条直线上构成线段。类似以上的方法，应作E关于AB的对称点E’和E关于AC的对称点E’’，连E’E’’变AB于D，变AC于F。易证DE=DE’，FE=FE’’，即C△DEF=E’D+DF+FE’’=E’E’’，符合思维过程，故△DEF为此时E对应的周长最小的内接三角形。

这也就意味着在BC边上每取一个点E，都能确定一个与此时E点对应的周长最短的内接三角形，现在的问题就是如何在这些“周长最小的内接三角形”中，再找出一个周长最小的内接三角形，由于在前面点E是在BC边上任取的，所以现在要确定E的位置。

为方便探究，在图5上作些辅助线。连AE’,AE，AE’’，易证AE’=AE=AE’’、（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故有等腰△AE’E’’、△AEE’、△AEE’’。由“三线合一”知∠E’AB=∠BAE，∠E’’AC=∠CAE，故∠E’AB+∠E’’AC=∠BAC+∠EAC，即∠E’AB+∠E’’AC=∠BAC，故恒有∠E’AE’’=2∠BAC,因为∠BAC为常量，故∠E’AE’’为常量。由“余弦定律”得E’E’’2=AE’2+AE’’2—2AE’•AE’’•cos∠E’AE’’，即E’E’’=,因为AE＞0，故E’E’’=AE，因为有锐角△ABC，故0°＜∠BAC＜90°，故0°＜∠E’AE’’＜180°，故-1＜cos∠E’AE’’＜1。故＞0。因为∠E’AE’’为常量，故＞0，故E’E’’为关于AE的正比函数。因为＞0，故E’E’’随且仅随AE的增大而增大。要C△DEF最小，已让C△DEF=E’E’’，故使E’E’’最小，由“增减性”这需要使AE最小，由“垂线段最短”可知AE⊥BC时，AE最短，此时E’E’’最小，即C△DEF最小。（如图6）

但是，通过以上过程可知，D与F得位置是根据E点确定出来。不能独立，于是需要探究，D，F的位置是否与E一样具有特殊性呢？不妨引入一个新的概念，把一个三角形的三条高的垂足顺次连接所得的三角形为此三角形的垂足三角形。

于是有：锐角三角形的垂足三角形在此三角形内。

直角三角形无垂足三角形。

钝角三角形的垂足三角形在此三角形外。

如图7，作锐角三角形△ABC的垂足△DEF，D在AB上，E在BC上，F在AC上，△ABC的垂心为O点，仍做E关于AB、AC的对称点E’E’’,连E’D,FE’’。因为CD，BF为△ABC的高，所以∠BDC=∠BFC=90°，所以F在△BDC的外接圆上，即B、D、F、C共圆，故∠FDC=∠FBC，又因为AB垂直平分EE’所以DE=DE’，进一步可得∠BDE=∠BDE’，故∠BDE’+∠FDC=∠BDE+∠EDC，即∠BDE’+∠FDC=∠BDC=90°，故∠E’DB+∠BDC+∠FDC=180°，即∠E’DF为平角。即E’、D、F共线，故E’、D、F、E’’共线，因为图6中也有E,E’和E，E’’分别关于AB、AC对称且E’、D、F、E’’共,故得图6图形与图7图形为同一图形。

所以图6中的△DEF实质也是△ABC的垂足三角形。

因为已证图6中作出的△DEF是锐角△ABC中周长最小的内接三角形。

所以由以上探究得到了一个一般性结论，即：

——锐角三角形的垂足三角形为此三角形周长最小的内接三角形，又经探究，可向直角三角形和钝角三角形推广此结论：

——直角三角形的内接三角形周长大于斜边上的高的二倍。

——钝角三角形没有周长最小的内接三角形，且无取值范围。