基于极值理论的风险价值度量

基于极值理论的风险价值度量

张伟

[摘要]20世纪70年代以来，随着金融创新和放松管制两方面原因，国际金融市场在提高运作效率的同时，金融波动也大为加剧，日趋严重的金融风险对企业乃至一国甚至全球经济都构成了严重威胁，因此研究金融风险具有重要的现实意义。

[关键词]VaR；重尾分布；极值理论；

[中图分类号]F831.5[文献标识码]A[文章编号]1009-9646（2008）11-0006-02

一、引言

20世纪70年代以来，经济全球化和金融一体化的趋势越来越明显，竞争变得激烈，管制转向放松。随着技术进步和金融创新，全球金融市场在提高运作效率的同时，金融波动也大为加剧。日趋严重的金融风险不仅影响了工商企业和金融机构的正常运作和生存，而且对一国乃至全球金融经济的稳定发展构成了严重的威胁。因此，金融风险引起了全球企业、金融机构、政府当局及学术界的密切关注，金融风险管理成为工商企业和金融机构经营管理的核心能力之一。

VaR（ValueatRisk）方法是近年来国外兴起的一种金融风险管理工具，目前已被全球各主要银行、非银行金融机构、公司及金融监管机构接受，成为最重要的金融风险管理方法之一。

尽管VaR的概念很简单，应用广泛，但为了系统地描述和测量风险，它的度量却是一个相当复杂的统计问题。要计算风险值VaR，必须知道资产组合收益的概率密度函数或分布函数。如果能够拥有或根据历史数据直接估算出投资组合中所有金融工具的收益分布，那么作为整个组合收益分布的分位点的VaR值也就很容易得到了。但是实际中，收益分布一般是未知的。

VaR实际上是一个统计估计量，对风险因子的分布的不同假定及其推算资产组合价格变化的分布的不同的方式，相应地产生了不同的计算方法。具体来说，分为三种：非参数法、参数法和半参数法。

非参数法包括历史模拟法，蒙特卡罗模拟法：历史模拟方法不需要对资产组合的损益作任何假设，是最简单直观的一种，可较好地处理非线性、市场大波动的情形，但由于该法不能对过去观察不到的数据进行外推，所以在运用中受到很大限制；蒙特卡罗模拟法是选用适当的数学模型，利用统计方法估计历史上市场因子的参数后来模拟市场因子未来的变化的，是目前度量市场风险最主要的方法。

参数法利用资产组合的价值函数与市场因子间的近似关系、市场因子的统计分布简化VaR的计算，是VaR计算中最常用、最成熟的方法，但此方法中要求市场因子必须服从正态分布，而实际数据表明大量的市场因子(如股票价格、外汇利率等)的回报具有“尖峰”、“厚尾”的特征，比正态分布具有更大的波动性，所以对风险资本会存在一定程度的低估。

半参数法主要包括极值理论，它不需要关心资产组合收益的整体分布，只关心其尾部特征，利用广义Pareto分布来逼近收益的尾部分布。

二、的概念界定

VaR是在险价值(ValueatRisk)的简称。P.Jorion（1997）给出了被学者们所普遍认可的定义：风险值是指在正常的市场波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失。更确切地是指，在一定概率水平下（置信度），某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。作为一种测量方法，VaR方法就是使用合理的金融理论和数理统计理论，定量地对给定的资产(组合)所面临的市场风险作出全面的度量。用数学语言表示为：

P（ΔP＞VaR）=1-p(1)

其中：ΔP：某一证券组合在一定持有期t的价值损益；

p：给定的概率——置信水平；

VaR：置信水平p下的处于风险中的价值——可能的损失上限。

(1)式说明，可以以概率p保证，在将来的某段时间里，损失值不会超过VaR值。例如，某一投资公司在1994年置信度为99％的日VaR值为3500万美元，根据VaR的定义，其含义是指，该公司可以以99％的可能性保证，1994年每一特定点上的证券组合在未来24小时之内，由于市场价格波动而造成的损失不会超过3500万美元。

三、极值理论

在研究市场风险的时候，如何处理像美国股市崩盘、亚洲金融危机等这些具有极大损失却又极少发生的极端事件是非常重要的，而极值理论（EVT）提供了我们所需的工具。

假设X1，…，Xn是来自未知分布F的独立同分布随机变量序列，Mn={X1，…，Xn}，若存在实数序列an＞0，bn和非退化分布H（x），使得当时n→∞时，有

此时称F处于H（x）的最大吸引场中（记为F□MDA（H），且H（x）一定是下列三种所谓的极值分布中的一种：

Frechet分布：

Weibull分布：

Gumbel分布：

Λα(x)=exp(-e-x)(x∈P)

Jenkinson等(1995)将这三种分布统一成一个单参数分布族，称为广义极值分布（GEV分布）：

当ζ=1/α(α＞0)时为Frechet分布，当ζ=-1/α(α＞0)时为Weibull分布，当ζ=0时为Gumbel分布。其中ζ（或α）称为极值指标。

由Fisher-Tippett定理可知，无论原始数据的分布是什么形式，其极值的渐进分布一定会是GEV分布。

一般来讲，极值理论中有两个基本模型：传统的块最大值模型和超阈值分布模型（POT）。传统的块最大值模型要求将样本分成许多块，再挑选出每一块中的最大值来建模。超阈值分布模型（POT），是针对样本中超过一个高门限的观测值来建模的，可以有效的运用较小的样本，是目前在实践中最有用的模型之一。

极限理论表明当F□MDA（Hζ）时，对于某一充分大的阈值u，X的超额数的分布函数

（2）

（其中0≤y≤x0-u，F的右端点x0=sup{x∈R，F(x)＜1}≤∞）可以用广义Pareto分布

（其中β＞0，当ζ≥0时，x≥0；而当ζ＜0时，0≤x≤-β/ζ）来近似，也就是说，存在某个正的可测函数β(u)，使得

（3）

这样，就可将VaR的估计问题转化为极值指标估计和分位点估计问题。极值理论对重尾分布尾部的估计方法主要有两类：基于极值指标的Hill估计的半参数估计方法和基于广义帕雷托分布的完全估计方法。

1)厚尾分布的尾部拟合与分位数估计——半参数方法

在极限条件下，所有“厚尾”分布的尾部都可以用幂函数近似,这称之为幂指规则。下面要找出具体的幂函数形式，以近似表达分布函数的尾部特征。

大量实证研究指出,金融时间序列的实际分布是“厚尾分布”，其极值分布通常是Frechet分布，根据极值理论中最大吸引场的性质知，一定存在某个缓慢变化函数L（x），使得回报分布的尾部可近似表示为

1-F（x）=x-αL(x)

由于L（x）是缓慢变化函数，在一定时期内变化很小，故可看作常数，从而回报分布的尾部近似表达式实际上是一个半参数形式：

1-F（x）=ax-α

其中，a＞0，α＞0，为待估参数。

denielsson对此提出了改进办法，给出分布函数的二阶扩展形式：

F(x)≈1-ax-α(1+bx-β)（α，β＞0）

其中a和b为尺度参数；α，β为尾部指数,它们都是需要估计的统计量。如果1-F(x)是正规变化函数，根据“二次子样试算法”可以得到分位数的估计：

（其中，X(Mn+1)为样本M+1的个降序统计量），从而得到VaR的估计。

2)厚尾分布的尾部拟合与分位数估计——完全参数方法

根据(2)和(3)式可知，若x＞u，则有

F(x)≈(1-F(u))Gζ，β(x-u)+F(u)（4）

选择合适的阈值u后，采用(n-Nu)/n做为F(u)的经验估计，代入(4)式，即得F(x)的尾部估计

（5）

其中，Nu表示超过u的样本的个数，ζ，□β为ζ，β的极大似然估计。

给定置信水平p，由（5）式即可反解出p分位数的估计：

继而得出VaR的估计。

极值理论不需要考虑风险因子变化的整个分布函数，直接运用极值理论对其尾部分布进行拟合，它可以准确地描述分布尾部的分位数，并具有解析的函数形式，计算简便。而且，与其它VaR方法不同，极值理论不需要对观测值服从的分布做出任何假定，同时强调了大多数金融时间序列分布的非对称性，解决了样本以外的分位数估计问题，有利于估计极小的概率条件情况下的VaR。

不过，由于VaR是收益分布的极值分位数，在实际操作中，如果历史数据比较少，使用极值方法对VaR进行估计也不是很准确，所以，一般来讲，极值理论适用于显著水平小于0.01的尾部估计。当显著水平超过0.05时，其误差已经大于正态分布估计的误差。

四、结束语

极值估计方法中关于极值指标的估计也是一个理论研究的热点问题，有许多问题有待进一步研究，这给我们留下了一个既具有挑战性也具有重要理论与现实意义的课题。

参考文献：

［1］宋恩荣著，当代中国教育史论［M］.北京：人民教育出版社，2002年

［2］王郑文通.金融风险管理的VaR方法及其应用.国际金融研究，1997年第9期春峰

［3］王春峰等.金融市场风险测量模型——VaR.系统工程学报，2000.

［4］张喜玉.金融风险管理的风险价值（VaR）方法.企业经济，2003.

［5］詹原端，田宏伟.极值理论（EVT）在汇率风险价值（VaR）计算中的应用，系统工程学报，第15卷第1期，2000.