《中国剩余定理》新解

《中国剩余定理》新解

孙梁

《中国剩余定理》新解

——余数周期表三大递变规律的应用

孙梁

(凯里市教育局贵州凯里556000)

【摘要】运用余数周期表三大递变规律：①对《中国剩余定理》一次同余方程古代算法进行科学、合理的解释、改进和简化。②推导余数自变定理，进一步简化和改革《中国剩余定理》的算法、步骤和程序，创建公式化解决一次同余方程和一次不定方程全新的理论和方法。③建立复变律和余数自变定理联合运用的解题模式，大幅度简化大模数方程的计算步骤和计算工作量。三大递变律的开发应用拓宽了《中国剩余定理》解题的领域、思路和方法，是一次同余理论的重大改革、创新和突破。

【关键词】中国剩余定理；三大递变律；公式化；改革；突破

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1009-9646(2009)06-0015-05

余数方程axn≡Cn（modb）(a>b>0整数，Cn为整数)，周期表中的余数在表中的性质表现得十分活泼［1］，周期表中任一余数除具有各自独特的自变功能及周变性质以外，还具有它项余数的变化能力，任意两个余数还具有互变、复变的特征和性质。余数这种集多功能于一身的神奇变化，大大拓宽了一次同余方程的解题领域和解题思路。从多渠道、用多种方法获得方程的结果。特别是余数的自变律、它变律和复变律的开发和应用，为我们探寻一次同余方程和一次不定方程走向公式化、条理化的简捷途径，发挥了重要决定作用。

1余数三大递变规律的有关定义、概念、名词、术语的解释

定义1：余数的自变律。余数方程axn≡Cn（modb）周期表中任一余数Cn，若在Xn项，则余数Cn每过Xn项，余数递增Cn。这种变化以余数自身数值和所在项数为变化质，以模b为周期，周而复始，无限循环，这种变化规律叫余数的自变律。

余数的自变律主要用来推算自变后的余数所落在的项数（即整数解）。如Cn在Xn项，Cn连续递增P次，则PCn在PXn项。

定义2：余数的它变律：余数方程axn≡Cn（modb）周期表中任一余数Ca在Xa项，另一任意余数Cb在Xb项，Ca除具有余数的自变功能以外，还具有它项余数的自变动功能。即余数Ca每过Xb项，余数递增Cb。余数的这种变化以它项余数的自身数值和所在项数为变化质，以模b为周期，周而复始，无限循环，这种变化规律叫余数的它变律。

设余数Ca，以它项余数Cb连续它变Pb次后的余数为Cn，所落在项数为Xn项，则它变后的余数计算式和相对应的项数计算式是：

Cn=Ca±PbCbXn=Xa±PbXb

这个计算式若写成：PbCb±Ca=CnPbXb±Xa=Xn表示的含义是：余数Cb自变Pb次后，以另一余数Ca它变一次产生新的余数Cn=PbCb±Ca落在的项数是Xn=PbXb±Xa项，我们把这个过程叫做自变余数完成一次它变过程。也叫做一个自变余数的它变环节。实际上就是一个除法算式即：用Cb除Ca，商为Pb，余数是Cn。

定义3：余数的复变律：两个自变余数的互为它变就叫余数的复变。其变化规律可简述为：两个发生自变后的余数的项数和（或差），是这两个自变后的余数和（或差）的一个整数解。设任一余数Ca在Xa项自变m次后的余数为mCa，项数为mXa项，另一自变余数Cb在Xb项，自变k次后的余数为kCb，项数为kXb，两个自变后的余数和（或有效期）为Cn，项数和（或差）为Xn则发生复变后的余数计算式和相对应的项数计算是：Cn=mCa±kCbXn=mXa±kXb

余数的复变律可以通过两个已知余数（指余数及其项数已知）推算第三个余数的整数解，应用在解题实践中，就是通过余数子系方程的两个整数解推算母方程（原方程）的整数解。

基本余数：周期表中任一余数Cn若满足0<|Cn|≤b这个条件，则这个余数叫周期表中的基本余数。周期表中有b个基本正余数和b个基本负余数。基本余数加上或减去模b的倍数，基本余数仍在其中（项数不变），周期表中任一余数，不论其绝对值有多大，都可以通过加上或减去模b的倍数，还原成它的基本余数。

基本项数：周期表中任一项数值Xn满足0<|Xn|≤b这个条件。这个项数叫基本项数。周期表中，从上往下看（或从左往右）的项数看作正项数（正整数解），从下往上看（或从右往左）的项数可看作负项数（负整数解），周期表中的任一周期项数，不论其项数绝对值有多大，都可通过加上或减去模b的倍数，还原成为它的基本项数或者还原成绝对值最小整数解。

首项余数：周期表中的第一项余数，用C0表示，由余数方程未知数系数模变而得，可表示为:

a≡C0(modb)。（0<|C0|≤b2）

余数的自变环节：一个自变余数的模运算转化过程叫这个余数的一个自变环节。余数方程ax≡c(modb)周期表中，任一余数Cn连续自变p次，当pcn绝对值最逼近b时，就周变（模变）一次，产生一个新的绝对值更小的余数Cn+1。这就是自变余数的一个模运算过程。方法是用Cn除b得一带小数的商，设带小数商的整数部分为m，若小数部分大于5，取商的整数值为p=m+1，若小数部分小于5，取商的整数值p=m，这样得到的余数都是这一变化环节绝对值最小余数，余数的一个自变环节用下面余数式表达：

CnP≡Cn+1（modb）（0<|Cn+1|≤Cn2）

（以下把上面介绍的这种除法，统一叫做“四舍五入”取商法。）

首项余数第一自变环节及其推论：余数方程周期表首项余数的模运算转化过程叫首项余数的第一自变环节，第一自变环节产生的子余数叫一阶子余数，由一阶子余数组建的余数子方程叫一阶余数子方程。按此类推，首项余数第n个自变环节产生的子余数叫n阶子余数，n阶子余数组建的余数子方程叫n阶余数子方程。

归零还原的子余数：首项余数模运算转化的最后一个自变环节，是自变余数归零还原。所谓“归零”就是转化为零，“还原”就是回到“模b”这个余数（因为模b和0在同一项）。若设归零还原的子余数是Cn，如果|Cn|a，则|Cn|就是a、b的最大公约数。如果Cn除不尽a，要选择C0为标准，增加一个或k个形如CnPn+1±C0≡Cn+1的辅助自变环节，对C0达到归零（即Cn+k|C0），此时|Cn+1|（或|Cn+k|）是a、b的最大公约数。

2运用余数周期表的它变律，对我国古代传统的一次同余方程的解法进行科学、合理的解释、改进和简化

我国古代著明数学家秦九韶是用辗转相除法（又名“大衍求一术”）巧妙获得余数方程ax≡１（modb）（a>b>0整数，a、b互质）的结果，他的解法，国际上誉为《中国剩余定理》，可用现代数学算式整理为以下两列式：

ax≡1（modb）（a>b>0整数，a、b互质）

a=p0b+C0k0=1(1)

b=P1C0+C1k1=P1k0=P1(2)

C0=P2C1+C2k2=P2k1+1(3)

C1=P3C2+C3k3=P3k2+k1(4)

……

Cn-2=PnCn-1+Cnkn=Pnkn-1+kn-2(n)

因为a、b互质，且C1>C2>…>Cn>0，经过有限步骤，Cn=1，此时Kn就是1的一个整数解。

以下分n个步骤用余数周期表的理论对辗转相除法的算理和计算过程解释如下：

第1步骤：将式（1）的左算式移项得a-P0b=C0（a）式（a）表明，余数方程未知数系数a是周期表中第1项余数中一个大于模b的余数，a连续减去变化质为0的模b倍数后，还原成它的基本正余数C0，因此C0是周期表中第1项基本正余数，C0有一个整数解是：X0=1

第2步骤：将式（2）左算式移项得：P1C0-b=-C1(b)式（b）表明，自变余数C0连续递增P1次，以b为标准它变（递减）1次，因b>P1C0,产生一个负余数-C1。根据余数的自变和它变律知。C0在P1项，P1C0在P1项，b变化质为0，它变1次不影响项数变化，故P1C0-b=-C1仍在P1项，-C1有一个整数解是：X1=P1

第3步骤:将式（3）左算式移项得：P2（-C1）+C0=C2（c）式（c）表明，自变余数（-C1）连续递增P2次，再以C0为为标准它变1次，产生一个新余数C2，根据余数自变和它变律知：（-C1）在P1项，P2（-C1）应在P2P1项，以C0为标准它变一次，应加上C0的项数变化质1，此时P2（-C1）+C0=C2，落在P2P1+1项，即C2有一个整数解是：X2=P2X1+1

第4步聚：式（4）左算式移项得：P3C2-C1=-C3（D）同上理可推得（-C3）有一个整数解是X3=P3X2+X1

按上面方法往下推，直至第n个步骤，设Cn=1>0

将式（n）左算式移项得：

Pn(-Cn-1)+Cn-2=Cn-(n)式（n）表明，自变余数（-Cn-1）连续递增Pn次，再以Cn-2它变一次，产生新余数Cn=1，因（Cn-1）在Xn-1项，Pn（-Cn-1）应在PnXn-1项，以Cn-2它变，因Cn-2在Xn-2项，故Pn（-Cn-1）+Cn-2应落在PnXn-1+Xn-2项，Cn有一个整数解是：Xn=PnXn-1+Xn-2

因为a>b>C0>…>Cn>0，经过有限步骤Cn=1（或-Cn=1），将上面推导的n个余数计算式和n个项数计算式，分别列成对应的左、右两列式得：

a－P0b=C0X0=1

P1C0－b=-C1X1=P1

P2(-C1)+C0=C2X2=P2X1+1

P3C2－C1=－C3X3=P3X2+X1

…

Pn（－Cn-1）+CN-2=CNXn=PnXn-1+Xn-2

将左列式移项，整理还原，右列式的Xn用kn代换，就得到转相除法的全部计算过程（从略）。

从上面的解释可以看出，辗转相除法中的每一个除法算式的kn值推算，并不全是这一等式产生的余数的整数解。它的实际情形是：奇等式的kn推算都是这一等式余数的整数解；偶等式的Kn推算都不是这一等式余数的整数解。这就暴露了辗转相除法计算规则上的一些缺陷，当最后计算得到的a、b最大公约数（或1），正好落在辗转相除过程中的偶等式时，Kn却不是“1”或最大公约数的整数解，而是“-1”（或负公约数）整数解。这种余数的整数解与这个余数不相对应的现象（仅差一个符号），是余数辗转相除性质引发的负数效应，辗转相除法未考虑这种负数效应的作用，仍把一部分真实存在的负余数以正余数的形式表达出来，因而不能完全准确获得余数方程结果，这是一个遗憾，也是人们对辗转相除法认识上的一个误区。此为其一。其二，辗转相除法每一次除法运算对商值的选取都把小数部分舍去，只取整数部分作商，这样产生的余数并不全是这一除法等式中绝对值最小余数，这在一定程度上限制了解题的速度。鉴于上述两个原因，我们可对辗转相除法作两个改进：（1）将表示除法等式的“带余数除法”，改作“自变余数的它变式”来表示。这样每一个变化环节的余数项数推算结果（实际同kn推算方法一致）都是这一变化环节环尾余数的整数解，避免了上面所说的弊端，更能表达余数的本质属性。（2）在做每一个除法算式时，对商值的选取按本文前面介绍的“四舍五入取商法”，对小数部分去留，这样得到的余数都是这一变化环节绝对值最小余数。通过改进后的辗转相除法，除法次数可比原来减少30%-50%，对余数的表达方式和项数计算规则显得比原来更为简明，含义更为准确、严密和完善，下面举实例证实（注意：在组织自变余数的它变式时，要特别遵守：“同号相减，异号相加，保留符号”的组建规则）。

例1用改进后的辗转相除法求348537x≡35（modb47539）绝对值最小整数解

解：348537-47539·7=15764X15764=1（注：表示15764的项数变化质是1）

15764·3－47539=-247X-247=3-0=3

（-247）·64+15764=-44X-44=3·64+1=193

（-44）·6-(-247)=-17X-17=193·6-3=1155

（-17）·-（-44）=-7X-7=1155·3-193=3272

（-7）·2-（-17）=3X3=3272·2-1155=5389

3·2+（-7）=-1X-1=5389·2+3272=14050

故X35=35·（-14050）≡-16360（modb47539）检验符合题意。

改进后的辗转相除法，计算步骤比原来减少了。由于每一个余数都有一个绝对整数解与之相对应，给余数方程的解法带来了很大的机动性灵活性。对于大模数的方程，我们不一定要计算到a、b的最大公约数（或“1”），只要有一个绝对值较小的余数出现，我们即可选择相邻的两个余数组织复变，用复变律公式推算原方程整数解。如上题中我们可选择－44和－17组织复变，建立原方程的子系不定方程（这个方程与原方程同时有解或无解，且有解时解数相同）。

（－44）m－（－17）k=35

K=44m+3517=2m+2+10m+117=15（当m=5时）

根据复变律：

X35=mX-44－kX-17=5·193-15·1155=-16360

这样，将一个大模数的余数方程转化为一个绝对值较小的子系不定方程来解，计算工作量几乎降低了三分之一以上，取得了殊途同归、事半功倍的效果。

3运用余数自变律和周变性质，推导余数自变定理，改革《中国剩余定理》的算法、步骤和程序，创建公式化解决一次同余方程和一次不定方程全新的理论和方法

运用余数自变定理求解一次同余方程的基本原理，是将余数方程未知数系数，用模运算再转化的方法转化到绝对值是a、b的最大公约数的子余数，组建余数子方程来讨论。因为这个子余数是周期表中绝对值最小余数（0除外），由其组建的余数子方程的问题会得充分的，自然的暴露迎刃而解。又因为余数子方程与它的母方程有着十分密切的关系：子方程有无整数解代表了母方程有无整数解；子方程整数解的解数代表了母方程整数解的解数；子方程中的子余数在周期表中的项数与余数子方程整数解（Px）的乘积代表了母方程的整数解。解决了余数方程的问题，实际上就解决了母方程的全部问题。这样，自变余数的模运算再转化，把求解一次同余方程和二元一次不定方程的问题，简化到象解普通的一元代数方程那样简单、快捷、干净利落，走向了公式化、条理化的道路，为一次同余方程和二元一次不定方程的求解，提出了一套全新的解决模式。

定理1：（余数自变定理）余数方程ax≡C（modb）周期表首项余数C0经过n个自变环节的模运算转化，得到n阶子余数Cn，是归零还原的子余数。有且只有下面两种情况发生：

（1）当Cn|C0时，|Cn|是a、b的最大公约数，Cn组建的n阶余数子方程是：

CnPx≡C（modb）（A）

此时，（A）与原方程同时有解或无解，且有解时解数相同。若Px是（A）的一个整数解，P1、P2…Pn是模运算转化到子余数Cn的n个变化环节的几个商，则原方程的任一个整数解可用下式表出：

X≡P1P2…PnPx（modb）

（2）当Cn除不尽C0时，Cn要选择C0为标准，增加一个（或k个）辅助自变式：CnPn+1±C0=Cn+1（m）对C0达到归零继续追寻a、b的最大公约数。若Cn+1|C0，由Cn+1组建的余数子方程是：

Cn+1Px≡C（modb）（N）

此时，（N）与原方程同时有解或无解，且有解时解数相同。若Px是（N）的整数解，P1、P2…PnPn+1是模运算转化到子余数Cn+1的n+1自变环节的n+1个商，则原方程的任一个整数解可用下式表出：

X≡（P1、P2…PnPn+1±1）Px（modb）（±1符号与（N）相对应

下面用余数自变律对定理1证明如下：

余数方程首项余数经过n个自变环节的模运算转化得到归零还原子余数Cn,可用n个模运算递推式表出（因为使用同一个固定模，把modb放在递推式末尾一次说明。）

a≡C0C0P1≡C1C1P2≡C2…Cn-1Pn≡Cn(modb)（B）

第一种情况：当Cn|C0时，C0、C1…Cn中均包含有|Cn|的因子，（ab）=（|C0|b）=…（|Cn|b）=|Cn|，如果（A）有整数解必有（|Cn|b）|C［2］，也就是（ab）|C这正是原方程有整数解的充分必要条件［2］，因此原方程也有整数解。余数子方程（A）的解数是（|Cn|b）=|Cn|，原方程整数解的解数是(ab)=|Cn|解数都是相同的。

如果（A）无整数解，必有（|Cn|b）除不尽C［2］，也就是（ab）除不尽C，因此原方程也无整数解。

根据定义1，用余数自变律推算出（B）中各自变环节的子余数在周期表中的项数（即整数解）：

C0在1项C1在P1项C2在P1P2项…Cn在P1P2…Pn项。

设n阶子余数Cn，连续自变Px次（不受模b限制），可产生指定余数C，则有余数子方程CnPx≡C（modb）成立，因为Cn在P1P2…Pn项，指定余数C则在周期表中的项数是P1P2…PnPx项，即C在原方程的整数解是：

X≡P1P2…Px（modb）

第二种情况：当Cn除不尽C0时，因为（ab）=（b|C0|）≠（|Cn|b），此时（ab）=（|Cn+1||Cn|）=（a|Cn|）=（|Cn+1|b）=|Cn+1|，如果（N）有整数解，必有（|Cn+1|b）|C，也就是（ab）|C这正是原方程有整数解的充分必要条件。因此，原方程也有整数解，此时（N）整数解的解数是（|Cn+1b|=|Cn+1|，原方程整数解数是（ab）=|Cn+1|，解数相同。

如果（N）无整数解，必有（|Cn+1|b）除不尽C，也就是（ab）除不尽C，因此原方程也无整数解。

辅助自变式：CnPn+1±C0≡Cn+1，表明Cn连续递增Pn+1次，以C0为标准它变一次，产生新余数Cn+1，因为Cn在P1P2…Pn项（前起），Cn连续递增Pn+1次应落在P1P2…PnPn+1项，又以C0为标准它变1次，应加上（或减去）C0的项数变化质1，故Cn+1实际落在P1P2…Pn+1±1项（±号与（M）正负号相对应），若Px是（N）的整数解，表明Cn+1以b为模，连续递增Px次，转化为指定余数C，此时C在周期表中的项数是（P1P2…Pn+1±1）Px项，即原方程的整数解是：

X≡（P1P2…Pn+1±1）Px（modb）

余数自变定理公式（1）和公式（2）模运算转化的全过程，用自变余数递推式记写如下：

余数自变定理ax≡C(modb)

公式（1）

a≡C0C0P1≡C1C1P2≡C2…Cn-1Pn≡Cn|b，

C0Pλ≡CCn（整数）X≡P1P2…PnPx(modb)

公式（2）

a≡C0C0P1≡C1C1P2≡C2…Cn-1Pn≡Cn|b，但除不尽C。

（辅助式）CnPn+1±C0≡Cn+1|C0Pλ≡CCn+1（整数）X≡P1P2…PnPn+1±1)Px(modb)

用定理1进行模运算再转化求解方程，要熟练掌握周期表的定义、性质、特征和余数自变公式。从首项余数自变转化开始，直到推出原方程的整数解，全过程用同一个模，模的符号在解题结果末尾一次标注各自变环节用递推符号“”连接，表示“推导出”的意思。模运算再转化的解题方法，无须事先判断方程有无整数解和整数解的解数，这些问题都会在模运算的子方程中得到解答，整个计算过程紧奏严密，环环相扣，一气呵成。

例2，用定理1求2970x=983（modb）正整数通解。

解：2970≡－18（-18）·5≡-7（-7）·12≡-1Px≡9831≡13X≡5·12·13≡33+83k（K≥0）（modb83）检验适合

由于每个自变环节产生的子余数，都是这一变化环节绝对值最小余数，这在一程度上简化了辗转相除法的计算步骤，因为运用余数自变公式一次求解，还有效避免了反向推导才获结果的繁琐程序［3］［4］。

例3用定理1解同余方程589x=1026（modb）求出最小非负解及方程解数。

解：589≡-228（-228）·4≡-95（-95）≡-38（-38）·21≡19|817，-228Px≡102619≡54X≡4·9·21·54≡-26（mod817）(换模)X≡-26≡17+43(mob43)，（K=0,1,2……18）

通过模运算知，余数方程的解数是19个，其最小非负解是17，解本题当推算出X≡-26（modb817）时，因方程有最大公约数19，-26不是方程的绝对最小整数解，要经过换模，把mod817，换为mod81719=mod43才得到最小非负数解是17。

当自变数的模运算转化到归零还原的子余数Cn除不尽C0,此时Cn要选择C0为标准，增加一个或n个辅助自变式，对C0达到归零，再组余数子方程，用余数自变公式（2）求解。

例4，用定理1求483≡-21（mod198）绝对值最小整灵敏解及解数。

解：483≡8787·2≡-24（-24）·8≡6|198，但除不尽87（辅助式）6·15-87≡3|87Px≡-213≡-7X≡（2·8·15-1）·（-7）≡-89（mod198）换模X=-89≡-23+66k（mod66）（k=0,1,2）

因此，绝对值最小整数解是-23，方程的解数是3个。

从上面的推导和例解可以看出，用自变余数的模运算再转化求解方程，解决了一次同余方程和一次不定方程不能用公式一次计算的难题。比较传统的转辗相除法派生出来的各类解法，其简捷程度占有极大的优势。其原因主要有二，一是模运算直接对自变余数进行转化，而不是象其它教科书那样，对整个方程进行整体转化，因而省略了转化过程中不必要的数据、换模、变号和多元未知数的假设等。其二是选择了一个变化质为零的不变模数b进行转化，能推导出公式一次求解，避免了数论书籍中要反向推导才获结果的繁琐程序［3］［4］。因此，模运算转化求解方程与传统方法比较显得更为简明、快捷直接，不拖泥带水，容易记忆，使用方便，是一种值得总结和推广的好方法。但是，模运算转化求解方程也有它的弊端：当解决大模数的同余方程或不定方程时，因为要做的除法次数相应增多（即自变环节增加），各变化环节的子余数绝对值变得愈来愈小，所取的商值就会愈来愈大，最后用公式计算，历次商的连乘积时，有时用普通计算器都难以一次计算，要分割为若干模运算转化才获得结果。其二，用余数自变公式（2）求解大模数方程时，有时增加一个辅助式不能对首项余数达到归零，要增加2-3个辅助式才达到归零，这时的自变公式（2）用X≡{［（P1P2…Pn+1±1）Pn+2±1］Pn+3±1}Px来计算，使公式复杂化。下面再推导定理2（余数复变定理）与定理1联合运用的解题模式，不但可以有效，圆满地回避上述两个弊端，而且还大幅度地降低了大模数方程的计算步骤和工作量，为一次同余方程和一次不定方程全面走向公式化、条理化的道路奠定理论基础。

4运用余数复变律探讨余数方程和它的子系不定方程的关系，利用这种关系，将一个大模数方程转化为一个小模数方程来求解，从而简化一次同余方程的计算步骤和计算工作量

定理2（余数复变定理）余数方程ax≡C(modb)周期表首项余数C0经过第一自变环节的模运算转化得到一阶子余数C1，选择C0组织复变，建立原方程的子系不定方程是：

C0m±C1k=C（A）

此时，（A）与原方程同时有解或无解，且有解时，解数相同。若m、k是（A）的一组特解，P1是第一自变环节的商，则原方程的整数解可用下式表出：

X≡m±kP1（modb）（±号与（A）±相对应）

证明：余数方程aX≡C(modb)周期表首项余数第一自变环节的模运算可用下面两个递推式表出：

a≡C0C0P1≡C1(modb)

此时（ab）=（bC0）=（C0C1）［3］如果（A）有整数解，必有（C0C1）|C，也就是（ab）|C这正是原方程有整数解的充分必要条件，因此原方程也有整数解。此时（A）的解数是（C0C1），原方程的解数是（ab），因此解数相同。如果（A）无整数解，必有（|C0|，|C1|）除不尽C，也就是（ab）除不尽C，因此，原方程也无整数解。

根据定义3（复变律）两个发生自变后的余数的项数和（或差）是这两个发生自变后余数的和（或差）的整数解。我们得到

X=mXC0±KXc1,因为XC0=1，XC1=P1

故方程整数解表为

X≡m±kP1（modb）（±号与（A）±相对应）证毕

联合应用定理1和定理2求解大模数方程，可以简化大模数方程的求解步骤和计算工作量。其基本原理是将一个大模数方程转化为一个绝对值较小的子系不定方程来解，只要求得子系方程的一组特解，就可用复变律公式快速推算出原方程的整数解，下面仍以例1为例，说明这两大递变规律联合应用的简捷性：（运算时严格遵守：同号相减，异号相加，保留符号的规则。）例5联合应用定理1、2，求348537X≡35（mod47539）的绝对值最小整数解。

解：348537≡1576415764·3≡-247（mod47539）

由此得出P1=3，用C0和C1组织复变，建立原方程的子系不定方程。15764m+（-247）k=35（1）

用定理1求（1）中m、k，选择,mod247：

15764≡-44（-44）·≡-17（-17）·15≡-8（-8）·31≡-1Pm≡35-1≡-35m≡6·15·31·(-35)≡-85(mod247)将m代入（1）得k=-5425。根据定理2，原方程的整数解是：

X≡m+kP1≡(-85)+(-5425)·3=-16360(mod47539)

检验适合。

定理2只把余数方程未知数系数转化到第一自变环节就组织复变，这样推导出来的公式能简明、快捷地推算原方程的整数解，同时避免过多过大的商值出现，真正起到简化大模数方程的作用。实际上在解题实践中，也可根据现实情况需要，将首项余数转化到任意自变环节的余数，再选择适当的它项余数组织复变，这是余数周期表原理求解方程最机动、最灵活之处，但注意把组织复变的两个余数的项数变化质记写清楚。

例6联合运用复变公式和定理1求7485132X=57（mod90343）的绝对值最小整数解。

解：7485132≡-13337-13337·7≡-3016

（-3016）·30≡-137（mod90343），

由此知：X-3016=7，X-137=7·30=210，建子系不定方程：

-3016m－（-137）k=57（1）

选择mod137，用定理1求（1）中m、k：

-3016≡-2（-2）·68≡1Pm≡57

m≡68·57≡40(mod137)将m代入（1）得

k=881，根据复变律：

X≡mX-3016－kx-137=40·7-881·210≡-4044(mod90343)

检验适合。解毕

诸如例5、例6这样的大模数方程，如果用传统的“大衍求一术”来解，要做12道除法算式和12道Kn值推算，还要做两次模运算转化才得到结果。如果采用现行教科书辗转相除再反向推导回原方程求解或用ExeendcdEuciideanAiqontnm方法解决，不但耗时费力，而且步骤繁杂，特别是在反推过程中要不断整理被除数和除数的系数，实在是一件相当繁琐而且容易出错的工作，用来求解上例大模数方程似乎不大现实或说不可取。本文推导的定理1和余数复变公式联合应用的解题模式，如例6只用了5道除法算式和两个公式计算，就轻松、快速的求得方程结果，其计算步骤和计算工作量比传统解法均减少了70%以上，充分展示了余数周期表递变规律解题领域的广阔性，计算方法的多种性、机动性、灵活性，特别是解决问题的简捷性，相对于传统的辗转相除法来说，都有了明显的进展和突破。开发、应用余数周期表三大递变规律，拓宽一次同余方程的解题领域和解题思路，对传统的解法进行改进、简化和改革，使之全面走向公式化、条理化的道路，让古老的《中国剩余定理》焕发青春和活力，让这种高深的理论走进中、小学学生课堂。参考文献

［1］孙梁.余数周期表和辗转相除法［J］.凯里学院学报编辑部,2008.6第26卷第3期125-128

［2］潘承洞,潘承彪.简明数论［M］.北京大学出版社,1998:52-147

［3］华罗庚.数论导引［M］.北京科学出版社,1957；5-6，30-31

［4］于秀源,瞿维建.初等数论［M］.山东教育出版社,200125-29，127-130

［5］孙梁.公式化解决一次同余方程和一次不定方程的探索［M］科学教育家杂志编辑部.2009年第三期