“数形结合”在解题中的应用

“数形结合”在解题中的应用

谢彤馨

（湖南省岳阳县第一中学）

摘要：随着新课改的不断发展和实施，在数学课堂的学习过程中，数形结合已经成为了重要的教学方法。利用数形结合的教学模式，不仅有利于我们掌握重要的数学理论，还有利于解释抽象的数学问题，使数学变得一目了然，加深我们的记忆。数形结合的学习方法非常有利于开拓我们的数学思维，在高中学习中成为了对我们学生帮助最大的记忆理解工具。本文主要通过对高中数学问题的分析，探究数形结合的优势以及发展。

关键词：数形结合；高中数学；解题

在高中数学学习中，数形结合式的学习可以很好的解决填空题和判断题，这种直观式的问题便能够迎刃而解。数形结合作为数学解题中最常用的思维方法，就是根据数据与图形之间的对应关系，让我们可以直观的找到数学问题的要点，从而快速的解题。数形结合的学习方式会使我们的思路更加清晰，因此，运用数形结合的方式进行问题的解答，可以方便快捷的找出最终答案。

一、数形结合思想方法在集合问题中的应用

在高中课本中，首要学习的就是集合问题。但是，我们在学习集合时，集合问题看似简单，若是不认真也可能会导致答案失误，尤其是在后续的学习中，集合问题解决起来也会越来困难。在集合问题的解决中，无论是应用题还是简单的数量集，运用数形结合的运算方式，不仅可以避免把各集合答案算出一个范围，在进行合计计算的失误，还可以让解题步骤变得更加简单。例如，学校组织学生参加竞赛活动，一共有40人报名参加了本次竞赛，其中数学竞赛入选人数28人，化学竞赛入学人数21人，还有13人物理和化学这两课竞赛均入选，问这个班有多少同学既没有入选物理，也没有入选化学竞赛？如果没有学习集合的解题方式，只运用一般的解题思路来解决问题，可以算出入选数学竞赛而没有入选化学竞赛的人为28-13=15人，而入选了化学竞赛却没有入选数学竞赛的为21-13=8人，所以综上所述，入选了的人数有15+13+8=36人，所以就有四人既没有入选数学竞赛也没有入选化学竞赛。但是，运用集合图就可以很快的看出数学竞赛入选人数和化学竞赛入选人数的关系，两者重合的部分刚好13人，而用数学竞赛的入选人数加上8人，就是所有的入选人数，而用40减去这个数，就是最后的结果。

二、数形结合的思想方法在函数问题中的应用

高中函数越来越困难，不像我们初中所学习的只运用一次函数进行变换就可以算出结果，而是二次函数以及复合函数的混合运算，大大增加了解题难度。从初中到高中的学习中，一提到函数，我们首先就会想到画图，通过图像的直观，可以轻易地看出函数的特点以及性质，例如函数的定义域，值域，以及函数与x轴y轴的交点，函数的最值以及零点等等，都可以通过图像一目了然。这种数形结合的解题思路在解决函数问题时非常方便，例如圆的解析式x²+（y-4）²=9，与直线y=3x-6相交于哪个象限？首先，我们可以看出这是一个半径为3，以（0，2）为中心的圆，将这个圆画出来，再将直线绘的圆上，可以直观的看出圆与直线相交于一，三，四象限。还有在学习里程成问题上，已知A，B地的距离是4000米，小华在早上八点从A地出发到B地，小红在8点20从B地骑自行车出发前往A地，小华以及小红两人在离A地的距离，与所用时间的关系如下图，那么从图中可以看出小红到达A地的时间是多少？通过提干我们可以知道，小华以及小红两人距A地的距离就是图中的两条线，从原点出发的这条线就是小华的图像，而另外一条线就是小红的图像。

三、数形结合的思想方法在解析几何中的应用

数形结合的思想也是几何问题解决中的常用方法，不仅可以将几何中抽象复杂的问题直观化，在后续更加困难的立体几何，以及圆柱圆锥的学习中，运用数形结合的解题思路更加有利于解题。大家对于前面的立体几何以及圆锥，圆柱，三棱柱的学习以及证明方法感觉难度不太大，但是，在几何的学习中又加入函数，即球的运动轨迹，球的面积以及曲线构成的数学计算问题，对于这一类的题目，同学们常常感到困惑不已。在解决这一类问题时，我们可以运用到数形结合的解题思路，先将复杂的问题拆分成我们熟悉的，简单零散的知识，将题干中的数字圈画出来，将立体几何的某一个面分离出来，转换成简单的平面几何，慢慢学会这种将复杂的问题简单化的解题思路。无论多么复杂的立体几何图形，不能单单只靠在脑海中想象这种图形的构成，要适当使用数形结合的方式，才能以最快的时间计算出最正确的答案。

四、数形结合思想方法在三角函数中的应用

三角函数同样也是高中学习的重点，虽然三角函数表及其容易背诵，但是在一些计算量巨大，变换形式多样的三角函数题目，同样也使同学们感到十分头痛。利用数形结合的解题方式，清晰的罗列出三角函数的图像，三角函数的定义域，以及单调区间等等，有效的缩短了我们的解题时间，在平时的训练以及考试中也是一大帮助。

五、数形结合思想方法，在不等式方程中的应用

在不等式和方程的数学问题上，数形结合的思想主要就是利用数轴，清晰直观的解决不等式之间的数量关系。不等式表现出来的集合通过数轴表现出来，是我们最喜欢用的方式之一，对题目的解答也能够变得更加迅速。但如只是单纯的进行计算，从不等式的第一步开始，一步一步的往下计算，也是一个非常大的计算量。尤其是在考试的时候，我们需要一个快捷而方便的总结，一个便捷的解题思路，在看到题目中的关键点时，就可以联系到的解题方案，而不是从头开始一步一步的往下运算。

总结

总而言之，在高中数学的学习中，数学知识丰富多变，我们要根据所学到的知识内容灵活的进行解题。在对数学问题进行解答时，也要考虑到问题的深刻性，进行多方面的思考，明确问题的目的以及自身思维的可行性，才能使答案更加准确。教师在课堂讲授是习惯运用数形结合的方式，我们也要注重数形结合解题思路的重要性，在课下进行作业练习时，要熟练的运用数形结合的方式进行解题。无论是在学习还是在复习的过程中，我们都要把数形结合的思想运用在高中数学的解题上，有利于高效而快速的解决问题，还可以培养我们的数学逻辑思维，提高数学学习成绩。

参考文献

[1]路柠宁，数形结合方法在高中数学解题教学设计的案例分析［J］，天津师范大学，2015.

[2]郝升，高中数学思想方法的学习［J］，神州（中旬刊），2011（5）.

[3]黄佳琴，浅谈数形结合思想及其应用［J］，科技信息，2010（15）.