试论多边形和圆形的稳定性及其在建筑中的应用

试论多边形和圆形的稳定性及其在建筑中的应用

咸立德

咸立德（山东省曲阜市273100）

摘要：高纬度区上的建筑在随地球自转的运动中，在水平方向上具有旋转现象。这种旋转现象在地震过程中使建筑受到扭转力，这个力也是在震灾中起很大的破坏作用的。由于多边形（多于四边形的正多边形）及圆形比四边形（矩形）更稳定。所以在建筑的平面设计中采用多边形甚至圆形，可以有效地提高建筑的抗震性能。

关键词：多边形，变形，凝聚力，稳定性，生命幸存空间。

中图分类号：G633.63文献标识码：A文章编号：1673-0992（2010）07A-0006-02

本文相继《地震浅析与抗震》，从另一方面证明了高纬度区内的建筑在随地球自转的运动中具有扭转现象；具体分析证明了多边形（奇数边）及圆形比矩形更稳定。所以，建筑在水平方向上的设计中采取多边形及圆形是提高建筑抗震性能的有效措施。

一、再论高纬度区的建筑的旋转现象

假设把建筑建在一百八十度为线上，即建在地球的自转轴的顶点上，建筑随地球自转的运动就完全体现为建筑在水平方向上的旋转了。相反，把建筑建在零度纬线上（赤道上），建筑随地球自转的运动在水平方向上就没有旋转，而是全部体现在垂直方向上的自转了（随地球自转而自转）。也就是说，在赤道和极地之间的高纬度区内的建筑，在随地球自转的运动中，同时具有垂直和水平方向上的旋转性质。

当地球表面稳定时，由于建筑和地面的摩擦力，建筑不会受到旋转造成的扭转力的破坏。但是当发生地震时，在振动中，摩擦力就有大小的变化，有时甚至摩擦力为零。此时建筑就会受到扭转的破坏。所以建筑平面设计中，也要考虑不同几何图形的抗扭转性。

二、建筑在平面设计中的抗震措施

（一）不同几何图形的稳定性分析。以正三角形，矩形，正五边形，正六边形为例，来分析不同几何图形的稳定性，

1.不同几何图形的极度变形中的分析。如图1所示

很明显，图中的三角形在变形中，没有变化，说明三角形最稳定。而矩形、五边形和六边形在变形中都能变成多个不同形状。但是在五边形的极度变形中，最终面积也不可能为零，而矩形和六边形的变形中都有可能变成面积为零。

由以上分析可知，虽然五边形和矩形相对于三角形都具有不稳定性，但是相比较而言，五边形由于在变形中面积不为零，所以五边形还是比矩形更稳定。

假设人生活在不同几何图形中，图形在变形力的作用下发生极度变形，那么，处在五边形中的某区域的人就不会有生命危险，因为五边形具有在变形中不会使面积为零的空间，这个空间可称为生命幸存空间。

由于六边形，在变形中面积可以为零，所以六边形不如五边形稳定。也就是说相邻两个多边形中奇数边比偶数边更稳定。

2.不同几何图形在特殊情况中的稳定性分析。在多边形变形的特殊情况中也能显示出各自的不同性质。

在特殊情况下，多边形能总能得到至少一个生命幸存空间。由于偶数边存在面积为零的极度变形，而奇数边至少能得到一个生命幸存空间。所以在多边形中奇数边是占优势的。而在奇数边中，能被3整除的图形中能最大限度地得到生命幸存空间。

所以，在多边形中，能被3整除的奇数边图形是相对比较稳定的。

（二）不同几何图形在变形中的受力分析。以矩形和正五边形为例，如图3。

1.不同图形在旋转中的受力分析。当面积基本相同的矩形形和正五边形，在力的作用下而旋转时，可视为每条边随图形做圆周运动的同时也在旋转（像地球表面物体随地球自转而自转），即在及时时刻内每条边以中点为圆心做圆周运动，即产生杠杆现象。

也就是说图形的旋转，对每条边来说，可以做两方面的分析：一是每条边随图形旋转中做即时的沿边的方向的直线运动（相当于每条边随图形做圆周运动的切线方向），即边的受力方向是沿边的方向传递的。二是每条边在做即时的圆周运动，即以边的中心为圆心产生杠杆现象。

首先从每条边的即时运动的角度来分析。设两图形在同样的旋转中每条边的受力为F。在旋转中，力是沿边的方向传递的。A。在矩形形中，由于四个边相互垂直，所以cd边通过c点受到向外的推力为F。而在正五边形中，de受cd的推力则是f1。f1是小于F的。另一方面，在矩形形中，cd受到推力对ad产生的的杠杆力f，很明显要大于五边形中de对ae产生的杠杆力。并且，五边形中ae所受的杠杆力，会产生向内的分力f3，f3可以抵消一部分ae向外的推力。

由以上分析已经可知，正五边形的边在旋转中受到的向外的推力要小，也就是说，五边形在旋转中是比较稳定的。

由以上分析可以看出，从每条边的旋转中产生的杠杆力的角度分析，每条边在节点产生的向内的力会更明确，即从边随图形的即时旋转分析中也能证明五边形在旋转中是比较稳定的。

很明显，变数越多，其内角越大，产生的向内的力f3越大。实际上，这个力是在旋转中产生的向内的凝聚力，也正是这个力起到了使多边形更稳定的作用。矩形形由于边相互垂直，就不存在凝聚力，而是全部形成对边的向外的推力，所以四边形在旋转时是容易散架的。

2.不同图形在平动中的受力分析。如图3、B中，假设沿矩形bc和五边形cd的垂直方向产生平动力F，由于矩形中的边相互垂直，力F将沿ba和cd的方向全部传递给ad。而在五边形中，沿cb和de传递的力是F的分力f1,同时产生向内的凝聚力f2。如此类推，在a点会产生f3和f5相反，即五边形在受平动的变形力中有一部分会抵消掉。而且同时a点还会产生向内的杠杆力F1和F2，即凝聚力。也就是说，五边形在平动的变形中也是相对更稳定的。

由此推理，圆形在旋转和平动的变形中凝聚力是最大的，即相对最稳定。

（三）不同几何图形在立体图形（框架）中的变形受力分析。以正四棱柱和正五棱柱为例。在水平旋转变形中的受力分析。不管四棱柱还是五棱柱，其竖直方向上的面都是矩形，在水平方向上发生旋转时，在上下两边ad和bc中对c、d两端点传递的力是相等的，可以说，所谓的四棱柱和五棱柱框架，实际上是矩形形和五边形框架的每条边加厚了而已。所以在在四棱柱和五棱柱的水平旋转的受力分析中，其性质完全符合平面图形的受力分析，即五棱柱相对更稳定。

同理，在平动变形中其性质完全符合平面的性质，即五棱柱在平动的变形中相对更稳定。

假设立体框架地面被固定，就像建筑框架被摩擦力固定在地面上一样，所谓的旋转，就是顶部图形的扭转。也就是说，竖直方向上的框架也是产生扭转的。由于五棱柱的的顶面的每条边的传递力相对小，这些边同时也是竖直方向上的矩形的边，所以，竖直方向上的框架受扭曲力相对小。即五棱柱相对更稳定。

同样，所谓的平动，就会成为顶部的摆动。也就是说，在如图4、B中竖直方向上的面cdef实际上是受到了竖直方向的扭转。由于五棱柱中de所受推力f1相对小，即竖直方向上的平面cdef所受扭曲力小，而且在h点可以抵消一部分沿kh和eh传递的分力。也就是说，在平动变形中，平动的力在四棱柱中完全传递给了对面的ef和hg，而在五棱柱中，ef和hg和kl受到传递的推力是小于平动力的。即五棱柱更稳定。

所以，在立体框架中的扭转和平动的变形中，水平方向上的横截面框架的稳定性是直接影响到垂直方向上的稳定性的。即多边形对立体框架的稳定性是起积极作用的。

（四）辅助实验：

1.做五棱柱和四棱柱各一个。

2.在扭转中极度变形。

3.在水平方向上推倒（底面在地面上不动，相当于建筑由于摩擦力而固定在地面上）。

4.观察结果：

（1）四棱柱在极度扭转变形中内部空间可为零，而五棱柱在极度扭转变形中可得到一个三棱柱，此空间可称为生命幸存空间。如图5、A所示。

（2）在平动推倒中，四棱柱（以垂直于ah的水平方向推到）的内部空间仍可以为零。而在五棱柱中(以垂直于ak的水平方向推到)，由于ab边的端点a的受力方向和平动力的方向一致，而cd边的端点d的受力方向是沿ad方向的，此方向和平动力的方向是不一致的，，所以在平动推到的过程中，节点abcd就不会再一个平面内了，而使平面abcd发生扭曲。同理，平面cdef,efgh,ghkl在平动推到过程中都会发生扭曲，即adcddeefehhghk7条边不能平行着地，而且这7条边由于角度的不同而形成一个生命幸存空间。

实际上，正是由于五边形在变形中存在凝聚力，才导致五棱柱在变形中所有的边不可能都运动到一个平面内。最终还是有生命幸存空间的存在。如图5、B所示。

当然，当四棱柱沿对角线平行推到时，也是能得到生命幸存空间，而和五棱柱以任何方向推到都能得到生命幸存空间相比，显然五棱柱是相对稳定的。

即便是竖直向下的重力，五棱柱也会由于五个支柱，相比四棱柱的承重力要小。何况和四棱柱的截面积相等时，由于五棱柱的横截面的周长小，即重量小。所以在重力的变形中，五棱柱也是相对稳定的。

5.结论：五棱柱在任何变形中，都是相对稳定的。

（五）建筑在平面设计中的抗震措施。由于在地震中建筑会产生扭转、平动。由以上的分析可知，在同样施用当前矩形建筑中的有效抗震措施外，建筑在平面设计中，即外形上选择多边形及圆形是提高建筑抗震性能的有效措施。

三、其它抗震措施的配合

（一）平面施工。在建筑的平面施工中，即在楼板等加筋的基础上也要加对角线性的斜筋，来增加三角形的数量提高楼板在水平方向上的抗扭转性。

（二）框架与墙面的结合。与使用预制楼板具有不稳固性一样，墙面的补空方式（以框架为主的建筑模式）也同样是不可取的。所以，墙面也要与框架加筋结合。而且也要加斜筋来提高矩形墙面的稳定性

（三）梯形的结合。梯形（等腰）和多边形一样在变形中总能得到一个生命幸存空间。所以，梯形也具有比较稳定性的。在竖直方向上采取与梯形结构相结合的方式也是提高建筑的抗震性能的。

（四）套筒式的结合。平面设计中，不管外形上选择什么样的几何图形，选择套筒式结构都是有利于建筑的稳定性的，因为套筒式的性质，在内部图形和外部图形的节点连接上总能得到梯形，梯形是比较稳定的图形。所以套式结构在任何外形结构中都起稳定性作用的，如图6所示的几种套筒式结构。很明显，环形建筑实际上是一种圆形套筒式，由于在平面上的牢固连接（浇灌性楼板），相当于无数个梯形的环绕。

古代的一些塔式建筑基本上都是套筒式，实际上是利用了水平方向上的梯形的稳定性。再加上一些斜梁等形式的加固，使建筑更加稳固。

（五）楼顶的设计。楼顶的设计也是直接影响楼房的稳固性的。由于矩形的稳定性差，所以，楼顶的设计也是尽量避免矩形的出现。由于三角形的稳定性强，而且楼顶不是被利用的空间，所以楼顶采用锥形式较好，不管是几棱锥，其面都是三角形。

四、结论

多边形及圆形比矩形更稳定，而且在立体框架中任何性质的变形中多边形及圆形都是起到稳定作用的。所以，建筑在平面的设计中采用多边形及圆形是提高建筑抗震性能的有效措施。

五、结束语

本文具体分析证明了多边形及圆形比矩形更稳定，说明了《地震浅析与抗震》对建筑的外形改革的提出是有理论依据的；是有价值意义的。