HPM视野下，基于学科素养培养的课堂重构——例说《导数的几何意义》

HPM视野下，基于学科素养培养的课堂重构——例说《导数的几何意义》

何文胜

海南省农垦中学海南海口570100

在人类文明史进步的进程中，微积分的创立被誉为“人类文明史上的伟大创举”、“科学发展的分水岭”，全世界的科学家为解决从“宏观”到“微观”、从“有限”到“无限”，历经上千年的艰辛努力终于由牛顿——莱布尼茨共同在继承和总结前人研究成果的基础上，完善了微积分基本理论，建立了经典的、朴素的微积分科学体系，微积分以优美的、简洁的形式将运动学、磁场学、几何中曲线的切线问题、函数的最值极值问题、曲线长度和曲边形面积问题及立体几何体的体积问题融于一个高度统一的理论体系中，完美解决了困扰十七世纪的四类问题，极大地推动了人类科技的进步。历史上的科学家不断追求真理的契而不舍的精神和科学求实态度都是我们需要努力学习的，他们在当时有限的条件下思考问题、解决问题的思想方法也都是我们现在值得学习和借鉴的。

作者在讲授人教版高中数学选修2-2《导数及其应用》1.3“导数的几何意义”时，布置学生通过阅读课本及查阅相关典籍并适时地讲述导数的发展史，很好地激发了学生的学习热情和学习动机，在引导学生借鉴和模仿古人探究问题的方法时收到很好的学习效果。

一、布置学习任务，明确学习目标

课前，利用导学案布置学生阅读教材7-8页内容，并借助网络搜集有关导数的背景资料（利用数学文化熏陶学生），并初步达成“学习目标”：

1.认识割线与切线的关系，理解导数的几何意义。

2.会通过求函数的导数来求函数在某点处的切线斜率与切线方程。

3.通过学生合作探究，培养发现问题、解决问题的能力。

二、检查自学效果，鼓励主动获取

让学生汇报课前收集的信息，简述教材涉及的知识要点。教师简评学生收集的信息在当初的历史条件下的来之不易。

介绍十七世纪困扰科学界的四类问题：

1.即时速度。

2.切线问题。

3.函数的最值问题。

4.曲边形的面积问题。

经过了一段漫长的历史进程，在无数的数学家的努力下，终于由牛顿—莱布尼茨完善了微积分理论，从而解决了由宏观到微观、由有穷到无穷的问题。其实早在公元前七世纪我们的老祖宗就已经有了无限分割的朴素的、经典的微积分思想，尤其是三国时期的刘徽提出的“割圆术”，就已经是1000多年后外国数学家提出的微积分思想。苦于封建统治的文化专制、盲目排外，缺乏与世界交流，导致世界缺乏对中国的认识。

三、问题导入

问题1：求函数y=x2在P（1，1）点处的切线方程。

学生利用函数y=x2图像，运用初等数学方法易判过P点垂直与X轴的直线不是所求，通过假设切线斜率，联立方程组可求切线方程。

问题2：求函数y=x3在P（1，1）点处的切线方程（遇到困难，探究解决问题的办法，激发求知欲）。

四、合作探究

通过学生亲自动手实验，引导学生利用几何画板根据y=x 3函数图像上割线的变化，发现割线和切线的关系，让学生发现要求切线方程只需求切线斜率，探究割线斜率和切线斜率的关系、导数值的正负与函数图像的走势（即函数单调性）的关系。

发现：切线是割线的极限状态，割线斜率的极限值就是切线的斜率，导数值为负，函数图像呈下降趋势；导数值为正，函数图像呈上升趋势。

归纳：

1.（如下图）一般地，当点Q沿着曲线无限接近点P即△x→0时，割线PQ趋近于确定的位置PT。我们把直线PT称为曲线在点P处的切线（割线→切线）。

2.切线的斜率就是割线斜率的极限值。

引导学生自主归纳实验结论：

（1）导数的几何意义。

（2）割线与切线的关系。

（3）割线斜率与切线斜率的关系。

（4）导数的正负与函数单调性的关系。

（5）求切线方程关键是切点坐标、切点横坐标的导数值。

五、教授新课（师生共同分析，学生解答，老师规范解题格式）

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程。

点拨：求曲线在点P处的切线方程，隐含该点P即为切点，只需求该点横坐标的导数值即为切线斜率。

例2：在曲线y=x2上哪一点处的切线，

（1）平行于直线y＝4x－5；

（2）垂直于直线2x－6y＋5＝0；

（3）倾斜角为135°。

六、巩固提升（学生独立完成，老师巡堂发现问题）

1.若曲线y=f(x)在点(x0，f（x0）)处的切线方程为3x-y+1=0，则f′(x0)=＿＿＿。

2.曲线y=2x2+1在点P(-1,3)处的切线方程为＿＿＿。

A．y=-4x-1B．y=-4x-7

C．y=4x-1D．y=4x+7

3.求曲线y=x3的图像上过点P（1，1）的切线方程。

设计问题3是为了前后呼应，解决课前提出的悬而未决的问题。

七、课堂小结

本节课上，同学们有哪些收获？

由学生小结：

1.切线是割线的极限状态；

2.求曲线的切线方程，都离不开求出切点坐标；

3.求曲线过点P的切线方程，点P不一定是切点，需要假设切点坐标，利用切点横坐标的导数值与两点连线的斜率建立方程求得。

八、布置作业

1.思考：曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？

2.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2，求a的值。

3.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短，求点P的坐标。

九、课后反馈

1.学生反馈。

本节课后，我们对学生进行集中信息反馈，学生们对这种授课方式表示新颖。改变了以前他们被动接受的局面，让他们知道数学课上除了做题还可以做实验探究，课前的阅读让他们变成主动获取知识的主体。同时学生一致认为对培养他们发现问题、解决问题的能力会很有帮助，本节课他们是快乐的。

2.专家点评。

全国著名课堂教学评论家魏超群教授在认真聆听本节课后给予了全方位点评：（摘录部分内容）

（1）概念的形成让学生在实验中总结完成，本节课做到了将复杂问题简单化、直观化，便于学生理解和接受。

（2）利用几何画板探究抽象的函数问题，化抽象为具体，让学生在学习中享受到了掌握知识的乐趣，学生在笑声中学习、在享受中领悟，极大地激发了学生的学习动机、引发了学生的求知欲。

（3）抽象结论的得出不是老师灌输的，而是学生在探究中总结、猜想的，最后通过老师一般性的推理归纳验证，这种做法体现了逻辑推理的正确形式，符合学生的认知规律。

（4）但是课堂教学本身就是一门遗憾的艺术。课堂上还是要尽最大可能放手给学生，要相信学生，要把讲台还给学生，也要鼓励学生敢于犯错，要在犯错中纠错、在学习中提高。

注解：HPM：数学史与数学文化（History&PedagogyofMathematics）。