走近中考看旋转

走近中考看旋转

施小月

江苏东海县职业中学施小月

综观近年各地区的中考试卷，发现其试题变得更加新颖、灵活，在注重加强对基础知识考查的同时，也增强了对学生的运用意识与综合解题能力的考查，如在近年中考试题中就增强了对旋转变换的考查。现结合2007年的中考试题谈谈对旋转类问题的考查，以供商榷。

一、以现实生活为背景创设情景

例1.如图1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2，再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4，根据以上过程，解答下列问题：

（1）若点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（2，1），写出此时点B的坐标；

（2）请你在图2中画出第二个叶片F2；

（3）在（1）的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？

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评析：此题以现实生活中的风车图案为背景创设问题情景，显得自然贴切，较好地体现了“数学问题生活化”；它借助风车图案考查了学生关于点的坐标确定、对称、扇形面积计算等知识点及动手操作技能，较好地考查了学生的综合解题能力。如在题（1）中考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；题（2）中考查了学生的观察、判断与动手操作的能力，利用中心对称的知识比照图1中的叶片F2位置，可以轻松作出第二个叶片；在题（3）中，线段OB扫过的面积即是以点O为圆心，OB为半径的半圆的面积，间接考查了学生对圆的定义的理解及运用解题的能力。

二、以问题原型为基础进行有效拓展

例2填空或解答：

点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F。

（1）如图1，若∠BAC=60°，则∠AFB=（）；

如图2，若∠BAC=90°，则∠AFB=（）；

（2）如图3，若∠BAC=α，则∠AFB=（）（用含α的式子表示）；

（3）将图3中的ΔABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图4或图5。在图4中，∠AFB与∠α的数量关系是（）；在图5中，∠AFB与∠α的数量关系是（）。请你任选其中一个结论证明。

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评析：第（1）问中的图1是问题的原型，但是此题在原题的基础上进行了拓展，如在第（1）、（2）问中将特殊等腰三角形逐渐过渡到一般等腰三角形的情形，体现了由特殊到一般的思想。由题易证ΔABC∽ΔECD，则，又∠ACB=∠DCE，故∠ACE=∠BCD，因此有ΔBCD∽ΔACE，所以∠BDC=∠AEC，∠CAE=∠CBD，从而可得出∠AFB＝∠FBC+∠AEB=∠FBC+∠BDC=∠DCE=90°－；题（3）在题（2）的基础上又进行了创新和挖掘，将旋转与之巧妙地融合在一起，这时学生要能够从中主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值，进而进行类比解题，如在图4、图5中，ΔABC在旋转的过程中ΔACE∽ΔBCD的关系始终没有发生改变，因此在图4中可得∠CBD=∠CAE，故∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB=90°-α；在图5中可得到∠BDC=∠AEC，因此有∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=90°+α。

三、与新定义型问题相结合

例3在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过放缩和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角。

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（1）填空：

①如图1，将ΔABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到ΔADE，这个旋转相似变换记为A（），（）；

②如图2，ΔABC是边长为1㎝的等边三角形，将它作旋转相似变换A（T5,90°），得到ΔADE，则线段BD的长为（）㎝；

（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点。试分别利用ΔAO1O3与ΔABI、ΔCIB与ΔCAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系。

评析：此题设置很新颖，将旋转问题与新定义问题结合在一起，给学生以全新的感受，既考查了学生的基础知识与技能，同时也考查了学生阅读理解与运用的能力。这类道的解决关键就是对新定义的几何名称O（k，θ）的理解，既是解题的突破口也是对学生解题的挑战。如题（1），学生根据新定义O（k，θ）的理解直接转化解题；在题（2）中，由变换O（k，θ）可知线段O2A可以看作是由线段O1O3经过两次旋转相似变换得到，首先ΔAO1O3经过旋转相似变换A（，45°）得到ΔABI，则有；其次ΔCIB经过旋转相似变换C（，45°）得到ΔCAO2，则有。因此有O1O3=AO2，且O1O3⊥AO2。

四、与三角板相结合

例４如图１，已知ΔＡＢＣ中，AB＝BC＝１，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

(1)在图１中，DE交AB于M，DF交BC于N。

①证明DM＝DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

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评析：将某一几何图形绕一个点进行旋转变换，让学生在旋转过程中进行自主探究，这类题已得到命题者的亲睐，成为2007年中考的亮点，如徐州市第27题、南通市第27题、成都市第24题三角形的旋转，泰州市第18题、陕西省第10题线段的旋转，佳木斯市第26题角的旋转，扬州市第22题、资阳市第23题正方形的旋转，太原市第29题的平行四边形的旋转等。由于旋转使图形有了动感，故加大了问题的解决难度，因此在三角板的旋转过程中探究出始终保持不变的量则是整个问题解决的关键与核心，因此学生可主动去观察、去感知、去自主探究，寻找解题的突破口。如本题中随着三角板的旋转，BD=AD=DC、∠BDM=∠CDN=45°及ΔBDM≌ΔCND的关系始终保持不变，因此可利用这些不变的数量关系来解决问题。在题（1）中连结BD，由ΔBDM≌ΔCND可得DM=DN，即四边形DMBN的面积是一个定值；在题（2）、（3）中，由题（1）的解决过程可知三角板的位置虽然变了，但BD=AD=DC、∠BDM=∠CDN=45°的数量关系始终没有发生变化，从而ΔBDM≌ΔCND，所以结论总成立。

旋转问题是近几年中考热点之一，其题型也变得更加新颖灵活，得到命题者的亲睐。由于旋转，从而使图形有了动感，让学生在大脑中去主动模拟图形的运动过程，在“动”中去探究变与不变、在“动”中寻找解题的突破口，体现了对空间图形的考查；同时也有效考查了学生的观察、判断、操作与探究的能力，渗透了对数形结合思想、分类思想的考查，具有较好的综合性，提升了学生的应用意识。