襄阳职业技术学院公共课部杨昌海441022
摘要：函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多.复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.[1]为了帮助考生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，进行全面的研究.
关键词：复合函数、函数单调性、定义域、单调递增、单调递减
正文部分
一、引言：
什么是复合函数.对于函数y=f(u)u∈B与u=g(x)x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u)u∈B与u=g(x)x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u)u∈B与u=g(x)x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数.
比如，(x∈R)的复合函数是u＝－X2∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0.也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）.由定义知道就不能复合成f(g(x)).
二．复合函数单调性的判断总体步骤：
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x).其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;
(2)确定函数的定义域；
(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；
(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数.
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”.[2]
三．详细分析
3.1观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么?
第一组:
第二组:
显然第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组组函数，函数值y随x的增大而
减小.
这正是两组函的主要区别.当x变大时，
第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一个函数却具有一种共同的性质.
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