如何运用函数思想对中学数学进行教学

如何运用函数思想对中学数学进行教学

黄先刚

◇黄先刚

(万源市职业高级中学万源636350）

【摘要】：数学思维蕴涵于数学思想之中，数学思想蕴涵于数学知识，数学方法和技能技巧之中，数学思想能使数学内容达到更高层次的和谐与统一。

【关键词】：函数中学数学教学运用

在中学数学教学之中，不断加强数学思想的指导作用，不仅可以加深学生对所学知识的理解和掌握，而且可以提高学生的数学修养，发展思维能力，是提高数学教学质量的有效途径之一。

然而，我认为，在现代重要的数学思想中，在中学数学教学中的地位最高、作用最大的当属函数思想，现从以下几个方面谈点粗浅认识。

一、函数思想的特点

函数思想集中体现在函数概念之中，初中课本里给出的函数定义是：“如果在变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某一个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。X叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫做函数的值域。”

在高中课本里又用映射概念来阐明函数。“上面所说的函数实际上就是集合A到集合B的映射，其中，A、B都是非空数的集合。”

这两个定义都有局限性，前者属于函数的原始古典定义，突出“变量”，变量总是与时间有关，而时间在数学中还没有很好地定义过，因而，“变量”的含义也比较模糊，后者，突出了“映射”，更加接近于函数的近代定义，但强调“A、B是数的集合”即数集，使很多实际问题不好解释，显得狭隘，一个把“y”叫做x的函数，另一个把映射“f”叫做函数，显得有矛盾。不是的，“y”是由定义域中的x通过对应法则来确定；而作为函数的映射f是指从定义域到值域的映射，理解函数总是把定义域(A)，值域(B)对应法则（映射）三个要素作为一个整体来加以有机认识，因此，这两种说法，就无多在妨碍，把变量y作为x的函数，更具体，便于理解，对学生来讲是非常适宜的。

以上基本体现出了函数思想三个认知特征。整体性：思考对象始终为了一个联系的整体，合为一个完整的过程来加以认识。变动性：要以运动状态来看问题，而非静止观念来对待问题。关联性：相互转化而非独立地对待一个问题。

二、函数思想是解题的重要策略思想

在数学教学及指导学生在实际解题过程中，要用函数思想作主导，运用其函数的有效方法，结合实际函数的具体性质，可以使很多的数学问题得到转化，达到化难为易、化多为少、化繁为简的效果，这种策略思想也称之为函数法。

例如：若：(2-3x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，则：a1+a2+…+a7=。

学生观察，从表面形式来看，象是有关二项式定理题型，用相关知识展开来进行，显得比较复杂和繁琐。我引导学生用函数思想来处理，就变得太简单了，学生会一下子就明白过来，顺利完成。其过程如下：

当x=0时，得；a0=128;

当x=1时，得a0+a1+a2+…+a7=(2-3)7=-1

因此，a1+a2+…+a7=-129

三、函数思想在中学数学教学工作中具有一定的统筹性

中学数学教育工作的目的要求是培养学生的数学思维能力，解决实际生活中的具体问题。学生所学习的知识显得零碎，如果希望学生在学习过程中能够不断体会到所学内容在一级比一级高的形式和内容达到统筹，进入一个整体，这样的话，函数的思想就可以承担此责。

从内容来看，数轴、有理数、实数的定义和运算、数式的运算及等式变形、数表及表算方程及不等式和机算都是学习函数的基础，但映射是函数思想的核心，这种观念作为函数的映射f，就是有自身的一些形式。A：自对应，B：一对一，C：多对一，D：全对一。

可以说中学数学的大多内容都可以归纳于上面四种基本形式或是它们的一些组合。

中学数学的一些运算法则实质上也是一个映射。例如，我们所用的加法法则和乘法法则。

对于减法、除法、乘方、开方，指数运算、对数运算、解方程及解不等式也就照此类推。对于几何中的变换如，平移变换、对称变换、相似变换、旋转变换都是从一个图形集合到另一个图形集合的一个映射。

四、函数思想也是我们选择数学教学方法和设计教学方案的一个重要思想

在教学工作中，我们在传授基础知识的同时，也应力求发展学生的数学思维能力、提高思想素养，而函数思想就起着重要的作用。

例如，讲相反数时，可分为三个层次进行：首先，明确相反数的定义，会求一个数的相反数；其次，明确一个实数的相反数仍是一个实数，了解相反数是实数集合上的一对一的一个对应即映射；再次，了解当一个函数越大，它的相反数就越小，一个负数越小，它的相反数就越大，零的相反数仍是零。

在数学课堂教学中，如果仅限于第一层次，就是单纯传授知识的教学，只有有效地过渡到第二、第三层次，才有利于学生的发展，在教学中，还应注重教学方法，可以借助数轴及教具，配上老师丰富的教学语言，启发学生的学习，启迪其数学思想的形成，打开其思路。函数特点是由其表达形式确定的，而不是由教学内容确定的。有些解方程的题、式的一些运算，也可以用函数形式来完成。一般地，一些具体的实际应用问题解决方式有多种，一是就题论题式，这种方式只能使学生会解这一道题或者类似的题目；而用函数形式，可把题目置于一个完整的过程中，突出了整体性原则，教会学生动态地、相互关联地探索问题的一种思维方式，提高数

学问题的教学功能。

总之，函数思想是学习中学数学的重要思想，在数学教学中，要注意发挥函数思想的指导作用。这是全面贯彻落实数学教学目的的基础，应引起足够的重视。在实施过程中也要注意其阶段性、连贯性和可行性，不可盲目进行。只要老师精心设计教法，认真编排教学程序，善于诱导和启发，中学生是可以逐步接受和领悟数学函数思想的。