如何理解一元函数极值和最值的区别与联系

如何理解一元函数极值和最值的区别与联系

杨星光

杨星光德宏职业学院678400

摘要极值和最值在生活、生产实践和科学实验中有着广泛的应用，它们是两个不同的函数概念，没有必然的联系，在一定条件下又联系紧密，常被学生混淆。彻底理解清楚一元函数极值和最值的区别与联系，对学习多元函数的极值和最值并能灵活应用无疑是很必要的。

关键词理解函数极值最值区别联系

函数的极值（极大值和极小值的统称）和最值（最大值和最小值的统称）作为函数性质的一个重要分支和基本工具，在生活、生产实践和其它科技领域，诸如数学建模、优化问题、概率统计学科等都有广泛的应用。函数的极值和最值是两个不同的数学概念，它们之间没有必然的联系，但在计算过程中，在一定条件下又联系紧密，不少学生对二者的区别与联系一直模糊不清。笔者对一元函数的极值和最值从函数图像、存在条件和求法等方面并通过典型实例，谈谈如何理解二者的区别与联系。

1、充分利用图像直观性，从整体上认识极值和最值的区别与联系

一元函数极值定义：若函数f（x）在x0的一个邻域内有定义，且除x0外，恒有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0）），则称f（x0）为极大值（或极小值），x0称为极大值点（或极小值点）。[1]

一元函数最值定义：设f（x0）是函数f（x）在x0的函数值，若

不等式f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））对定义域内的任意x都成立，则称f（x0）为最大值（或最小值）。

函数极值和最值的定义都比较抽象，特别是对极值定义中的邻域一词不少学生难以理解，它实际上是一个以x0为中心，可以充分小的一个给定正数δ为半径的一个小开区间（x0-δ，x0+δ），函数的最值一般是对整个定义域或给定的一个定义区间而言的。从定义可以看出，极值和最值是两个不同的数学概念：极值是“局部性”概念，是函数在定义域内一个或若干个子区间的性质，属于个别“微观”问题；而最值是“全局性”概念，是函数在整个定义域或定义区间上的性质，属于整体性的“宏观”问题。单从定义解释学生还是难以搞清楚极值和最值的区别与联系，应充分利用图像的直观性，做较细致、深入的分析对比，才能使学生对二者的区别与联系有个初步的但是较完整的认识。

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，如图：

f（x）分别在x1、x3、x5、x8对应的图像“高点”处取极大值，分别在x2、x4、x6对应的图像“低点”处取极小值；在x8对应的“最高点”

处取最大值，在a对应的“最低点”处取最小值。在极值点x1、x2、x3、x4、x5、x8处均有f′（x）=0，在点x7处虽满足f′（x7）=0，但不取极值（像x7这样对应的点一般是拐点）；在x6对应的点（“尖角点”）处f（x）不可微，但可取极小值。

根据图像分析比较可得出极值和最值的主要区别与联系。

区别：（1）图像上所有“波峰中点”的纵坐标都是极大值，而“最高点”（不一定是“波峰中点”）的纵坐标才是最大值，图像上所有“波谷中点”的纵坐标都是极小值，而“最低点”（不一定是“波谷中点”）的纵坐标才是最小值，因此f（x）在[a，b]上可有多个不同的极大值

（或极小值）,而只有唯一的最大值（或最小值）；（2）极小值可以大于极大值（如图中的f（x4）＞f（x1）），而最小值不能大于最大值；（3）f（x）不能在闭区间端点处取极值，但可以在闭区间端点处取最值。联系:：（1）极值一定是极值点某个邻域的最值；（2）当极值点对应的点是图像最高点(或最低点)时,此点处极值就是最大值(或最小值)；反之，当最值点不是端点时，此点处最值必是极值；（3）若

函数定义域或定义区间是开区间（有限或无限），且有唯一极值时，

此极值就是最值（极大值是最大值，极小值是最小值）。

2、分析极值最值存在条件和求法，进一步理解二者的区别与联系

费马定理:一个函数只能在它的驻点（方程f′（x）=0的根）及不可微点处取得极值。魏尔斯特拉斯定理：在闭区间上连续的函数必有最大值与最小值。极值存在的充分条件定理（略）。

通过分析上面三个定理可知：（1）因驻点、不可微点都是内点，所以函数不可能在端点处取极值，但可以在端点处取最值；（2）若函数是闭区间上的单调函数，则函数在闭区间上无极值，且最大值、最小值都在区间端点处取得；(3)在不能取得极值的驻点处同样不能取得最值；（4）只要求出所有极值（极大值、极小值都可以有不同的若干个）和两个端点的函数值进行比较，最大者（或最小者）就是最大值（或最小值），但要注意判定不可微点是否极值点。

3、利用典型实例，深刻理解极值和最值的区别与联系

在学生对函数极值和最值的概念有了一定理解的基础上，还应结合一些典型实例帮助学生深刻地理解二者的区别与联系，并加强练习，以达到熟练掌握，灵活应用。

在中学数学中，解决有关最大、最小问题往往归结为求二次函数

的极值或最值，但用公式求函数在某个闭区间上的极值或最值时应注意判断抛物线顶点横坐标是否属于该区间。

例1、求f（x）=-x2-2x+3在[-2，1]和[2，3]的极值和最值。

表1

对于更一般的情形，要通过分析较复杂的典型实例来深刻理解极值和最值的区别和联系。

例4、求函数f（x）=x（x-1）2（x-2）3在[0，3]上的极值和最值。

解；计算结果如表2：

f（x）在[0，3]上有2个不同极小值，在驻点2处不取极值；∵f（0）=f（2）=0，f（3）=12，∴f（x）在[0，3]上的最大值是12，最小值约是-0．76。

表2

f′（x）—极小值点+极大值点—极小值点+非极值点+f（x）↘极小值约-0．76↗极大值0↘极波利亚曾说：“尽管每个人都有他自己的问题，我们可以注意到，这些问题大多是些极大和极小问题。…我相信数学上极大和极小问题，之所以引起我们的兴趣，是因为它能使我们日常生活中的问题理想化”。[2]许多实际问题和数学问题都可以归结为极值或最值问题加以解决。极值理论在航海、保险价格策划、航空、航天等众多领域起着不可替代的数学工具的作用。因此，彻底理解清楚一元函数极值和最值的区别与联系，对于进一步学习其它数学知识和灵活应用于解决生活、生产实践中的实际问题，都是十分重要和必要的。

参考文献

【1】盛祥耀《高等数学》[M]，高等教育出版社，2008年2月第4版。122.

【2】[美]G波利亚《数学与猜想》[M]，李心灿王日爽李志尧译。科学出版社，2001年9月。133。

x

（-∞，-1）

驻点-1

（-1，0）

（0，1）

驻点1

（1，+∞）

f′（x）

+

极大值点

—

—

极小值点

+

f（x）

↗

极大值-2

↘

↘

极小值2

↗