浅谈地球的“四个宇宙速度”

浅谈地球的“四个宇宙速度”

孙万军

孙万军江苏省六合高级中学211500

现用普通高中课程标准实验教科书物理必修2（人民教育出版社）第六章第5节给出了地球的三个宇宙速度，即v1=7.9km/s、v2=11.2km/s、v3=16.7km/s，并推导出了第一宇宙速度的大小。学生对第一宇宙速度能较好地理解。由于高中学生的知识水平所限以及《高中物理课程标准》中对第二、第三宇宙速度不做更高要求，笔者在课堂上对第二、第三宇宙速度并未做过多推敲，因为第二、第三宇宙速度涉及到变力做功等问题。但在教学过程中，笔者发现很多学生对第二、第三宇宙速度的探讨仍然具有浓厚兴趣；却因知识层次所限，苦于不知如何推导得出第二、第三宇宙速度的数值。基于上述原因，笔者在课余时间，对学有余力的同学运用了高等数学中的微积分思想及物理学中变力做功的求解方法，结合中学物理教学实际对地球的三大宇宙速度（特别是第二、第三宇宙速度）进行了推导，从而消除了学生的疑惑。并希望进一步引导学生学会运用类似方法提高解决相关物理问题的能力，增加学生的物理学科素养，并顺势提出了地球的第四宇宙速度的概念，以激发学生探索未知领域的兴趣。

首先让学生明确，任何天体都有自己的第一、第二、第三宇宙速度，宇宙速度并不是地球的“专利”。下面的讨论均以地球为例。

一、第一宇宙速度

第一宇宙速度又称环绕速度，是卫星在地球表面附近做匀速圆周运动时必须具有的线速度，是所有做圆周运动的卫星中最大的线速度。理解第一宇宙速度，要抓住两个要点：一是“在地球表面附近”，则卫星的轨道半径与地球的半径相等。二是“匀速圆周运动”，由卫星所受的万有引力提供向心力，即：G=m，所以v1==7.9km/s；又因为星球表面附近的万有引力等于重力，故有mg=m，所以v1=Rg=7.9km/s。

从中我们可以看出，这个结果是在忽略空气阻力和太阳、月球等引力作用下得到的，并且是相对于地心的速度。这个速度本意是以地球为半径的近地轨道环绕速度，不难想象，也可以理解成是物体在地面上的抛射速度，即若物体相对于地心以7.9km/s的速度抛射出去则物体将成为一颗人造地球卫星。所以第一宇宙速度既是最小的发射速度，又是最大的绕行速度：因为在地球表面把物体抛射出去，如果速度小于7.9km/s，物体终将落回地面而不能成为卫星；其次，所有绕地球做匀速圆周运动的卫星均满足=m，所以v=。由此可知，r越小，v越大，故第一宇宙速度是所有绕地球做匀速圆周运动的卫星中的最大速度。

但从上面的分析可知，由于地球的自转，在地面上的实际发射速度是有所不同的。地球自转的最大线速度v=ωR=R=0.465km/s，所以，如在赤道向东发射需要7.43km/s，向西发射则需要8.37km/s。

二、第二宇宙速度

第二宇宙速度又称脱离速度，是使物体能够脱离地球的引力作用范围而绕太阳运行所需的最小地面发射速度。以地心为参考系，不考虑空气阻力和其它星球的引力影响，则符合机械能守恒条件。设物体质量为m，第二宇宙速度大小为v2，则其动能为Ek=mv22。按第二宇宙速度的定义，物体m在远离地球，引力做负功，动能逐渐减少，引力势能逐渐增加，摆脱地球引力是达到无穷远，动能全部转化为引力势能，选无穷远为零势能点，由动能定理可得：

dr=0-mv22

得G=mv22，所以v2==2gR=11.2km/s。

由此可见，第二宇宙速度也是以地球中心为参考系而不是地面。若考虑到地球的自转，而地球自转的最大线速度v=ωR=R，所以，如在赤道向东发射只需要10.7km/s,向西则需11.6km/s。

三、第三宇宙速度

第三宇宙速度又称逃逸速度，是指在地面附近发射飞行器，能够挣脱太阳引力的束缚飞到太阳系外的最小速度。物体要飞出太阳系，必须同时克服地球引力和太阳系引力，设物体以第三宇宙速度抛出时，其动能为Ek=mv32，忽略一切阻力和其它行星引力的影响，应用机械能守恒定律，这个动能应包含两部分，即脱离地球引力所需的动能Ek1和脱离太阳系引力所需的动能Ek2。已有Ek1=mv22，而Ek2=mv2`2可仿照第二宇宙速度的推导过程，设太阳质量为M`，无穷远处为零势能，地球绕太阳的轨道半径为r`，由动能定理:

dr=0-mv2`2得v`2=。已知太阳质量是地球质量的333400倍，而地球绕太阳的轨道半径的平均值约为地球半径的23400倍，因此：

v`2==7.9×=42.2km/s。

由于地球绕太阳公转的线速度为29.8km/s，如果物体沿地球公转的速度方向发射，则只需v`=42.2km/s-29.8km/s=12.4km/s。

所以mv32=mv22+mv`2,v32=v22+v`2,v3=16.7km/s。

由此可见，第三宇宙速度也是相对于地心的速度。由于地球自转的线速度与公转的线速度相比可以忽略不计，所以不再讨论地球自转带来的影响。

三个宇宙速度中，第一宇宙速度是最小的发射速度，同时由v=可知又是绕地球做匀速圆周运动卫星中最大的环绕速度。若物体发射时的速度介于7.9km/s到11.2km/s之间，则物体将绕地球做椭圆轨道运动，地球是它的一个焦点；若物体发射时的速度介于11.2km/s到16.7km/s之间，则物体沿曲线飞离地球，成为绕太阳运动的卫星；若物体发射时的速度超过16.7km/s，则物体能飞出太阳系成为太阳系外的卫星。三个宇宙速度和相应轨道间的关系如图所示：

四、第四宇宙速度

第四宇宙速度，是指在地球上发射的物体摆脱银河系引力的束缚，飞出银河系所需要的最小发射速度。第四宇宙速度在1991年被提出，目前尚在研究当中。由于人类对银河系的了解知之甚少，它的质量和半径还不清楚，因此，飞出银河系的第四宇宙速度的数值只能估算，大约在110km/s到120km/s之间。这个数字目前还没有形成公论，而且目前人类还没实现第四宇宙速度。这个未知而又神秘的领域正在远方等待着我们，同学们，让我们一起加油！