杜玉梅
摘要:通过“多边形内角和”这节课,展现了教师帮助学生阶梯式地建立“几何直观”的过程,论述了在新课程标准的指导下教师是如何重现知识的“过程性”的。
关键词:几何直观;过程性;阶梯;自主建构
随着《数学课程标准》(以下简称“课程标准”)将“几何直观”作为“课程内容”提出,几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。《数学课程标准》要求要让学生“经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观”。
几何直观是一种创造性思维,对于数学中的很多问题,灵感往往来自于几何直观。几何直观具有发现功能,同时也是理解数学的有效渠道。抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象,都为学生创造了一个自己主动思考的机会,借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助学生探索解决问题的思路,预测结果。
《数学课程标准》的总目标要求让学生“经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程”,“体验解决问题方法的多样性,发展创新意识”。而初中学生的数学分析推理能力和归纳总结能力都比较弱,所以就需要教师在授课时由浅入深,搭建阶梯,引领学生逐步体验知识的生成过程,在自主或小组合作的过程中,通过思考和探讨,阶梯式地自主构建知识体系。
下面以一节“多边形的内角和”教学案例浅谈我如何搭建阶梯,帮助学生体验几何直观,自主构建新知构。
一、教学过程
在讲授“多边形内角和”这一节内容时,理解多边形的内角和的计算公式的由来是本章的难点。在处理此难点时,笔者主要利用图形由特殊到一般,由浅入深,通过让学生动手画图、讨论、总结来推导公式。具体操作如下:
1.第一步:提出问题。“学习了三角形的内角和是180°,而三角形是多边形的一种类型,那么其它的多边形内角和又是多少度?”承上启下,引发学生思考。
2.第二步:探讨问题。
(1)搭建第一层阶梯:笔者让学生回忆正方形、长方形的各个角,并且算出这两种特殊四边形的内角和为360°。然后让学生画出一个一般的四边形,通过度量的方式算出内角和。学生发现此方法虽然可以得出四边形的内角和,但是过于麻烦,而且容易量错。引出学生的探讨欲望之后,因势利导,笔者在黑板上画出一个一般四边形ABCD,提出问题:能否利用基本图形和已有的三角形内角和知识推算出四边形内角和?(如图1)
学生很容易就能想到利用对角线能够将四边形分割成三角形(如图2)。让学生从图形上直观地感受:四边形的所有内角刚好被两个三角形的所有内角覆盖。
即四边形内角和=2个三角形内角和。
(2)搭建第二层阶梯:在黑板上给出一般的五边形,提出问题:“如何仿照四边形内角和的推导,也推导出五边形的内角和?”
(如图3)
此时让学生展开小组讨论:利用“转化”的思想,将五边形分割成三角形。
学生们进行自主构建学习。
大部分学生一般会分割成如图4的情况,也有部分学生将五边形分割成图5的情况
此时笔者适时引导:从一个点引出线段,与五边形的各个顶点连接,就能将五边形分割成若干个不重合的三角形。这个出发点的位置除了在五边形的顶点和内部之外,还可以在哪里?如何分割?
学生进行动手尝试,体验解决问题的多样性。
部分学生尝试在五边形的边上设置出发点,将其分割成图6的情况。
还有个别学生很有创新意识,将出发点设置在了五边形的外部(如图7)。这是连笔者也忽略了的一种情况。
(3)搭建第三层阶梯
让学生观察四幅图象,寻找把五边形分割后,五边形的内角和与分割出来的三角形的内角和之间的关系。学生通过图形的直观感知,会很容易发现:
对于图4五边形内角和=3个三角形内角和。
对于图5五边形内角和=5个三角形内角和—1个圆周角。
对于图6五边形内角和=4个三角形内角和—1个平角。
对于图7五边形内角和=4个三角形内角和—1个三角形内角和。
将所有结果化简后得最终结论:五边形内角和=3个三角形内角和。
(4)搭建第四层阶梯
拓展到多边形的内角和探讨:关键是将多边形分割成三角形。
前面的分割方法中,图4和图5的方法比较简单。故要求学生探讨:用上述两种方法,通过若干个特殊三角形,归纳总结出
“一个n边形能够分割成几个三角形?”
有了前面五边形的内角和探讨方法和结果的铺垫,学生能通过图形的直观性,自主构建知识联系:一个n边形可以分割成(n-2)个三角形。
得出结论:n边形的内角和=(n-2)180°。
二、教学反思
利用几何直观,设置阶梯式的递进问题,学生就不需要死记硬背多边形的内角和公式,同时在进行推导的过程中,加深了学生对图形间相互联系、相互转化的理解,能够使学生在今后面对复杂图形或陌生情形时,可以将之转化为基本图形,从而直观地利用基本的图形性质来解决复杂图形的说理和计算问题。
几何直观是揭示现代数学本质的有力工具,有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观,揭示研究对象的性质和关系,使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式,使学生体验数学创造性工作历程,能够开发学生的创造激情,形成良好的思维品质。训练学生的图形直观,不仅仅是让学生能够很好地解题,更重要的是能够使学生能够通过建模、分割、转化等方式方法,对新旧知识进行梳理、整合、应用,让学生能够通过直观的感知自发地构建出图形与图形、图形与数量间的有机架构,从而将知识系统化、一致化。
按照《数学课程标准》的理念,教师在培养学生几何直观的时候,更应该通过各种不同的图像和方法,重现知识的生成过程,激发学生的主观能动性,让学生“积累数学活动经验”。而根据“最近发展区”的原则,教师更应该在教学环节中乐于做一个搭建精美“阶梯”的大师,创设符合学生认知能力的情景,设计层层深入的环节与问题,引领学生自主地攀登一个又一个数学高峰。
参考文献:
[1]教育部.数学课程标准(实验稿)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.
[2]秦德生.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考,2005(10).
作者单位:广东省珠海八中
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