由一道例题联想到的

(整期优先)网络出版时间:2015-07-17
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由一道例题联想到的

李林

李林四川省广元市苍溪中学校628400

例:已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,求a的值。

法一:常规法

1.距离为0,即A、B两点均在直线l上。

-3a-4+1=0a=-1

6a+3+1=0a=-

∴A、B到l的距离不为0。

2.距离不为0:运用点到直线的距离公式。

解之得:a1=-,a2=-。

法二:运用数形结合

1.距离为0时,同法一中1。

2.距离不为0时:

(1)a=0时,则l:y=-1

A到l的距离:d1=3,B到l的距离:d2=4。

Qd1≠d2,∴a≠0

(2)a>0时,y=-ax-1,则A、B异侧,由线性规划知识得:

6a+3+1>0

-3a-4+1<0

又Qa>0,∴a>0

△BMP△ANP(AAS)

∴MP=PNAP=BP

∴P点为AB的中点,P在直线l上

P(,)即P(,-)

∴a-+1=0,∴a=-

而a>0,∴a无解。

(3)当a<0时,y=-ax-1(分四种情况)

①A、B异侧(一):

6a+4>0

-3a-4+1<0

a>-,Qa<0

∴-<a<0

△AP1D△BCP1(AAS)

∴P1为AB的中点

∴P1(,)

∴a=-满足。

②A、B异侧(二)(A在l上侧,B在下侧)

6a+4<0

-3a-4+1>0

Qa>0,∴不会出现此种情况。

③A、B同侧,A、B均在l的上方

6a+4>0

-3a-4+1>0

a无解,故不会出现此种情况。

④故A、B均在l的下方,且A、B到l的距离相等。

∴A、B所确定的直线l1,lpl1,∴kAB==,k1=-1,

∴a=-。

综上所述:a=-或者a=-。