李林四川省广元市苍溪中学校628400
例:已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,求a的值。
法一:常规法
1.距离为0,即A、B两点均在直线l上。
-3a-4+1=0a=-1
6a+3+1=0a=-
∴A、B到l的距离不为0。
2.距离不为0:运用点到直线的距离公式。
解之得:a1=-,a2=-。
法二:运用数形结合
1.距离为0时,同法一中1。
2.距离不为0时:
(1)a=0时,则l:y=-1
A到l的距离:d1=3,B到l的距离:d2=4。
Qd1≠d2,∴a≠0
(2)a>0时,y=-ax-1,则A、B异侧,由线性规划知识得:
6a+3+1>0
-3a-4+1<0
又Qa>0,∴a>0
△BMP△ANP(AAS)
∴MP=PNAP=BP
∴P点为AB的中点,P在直线l上
P(,)即P(,-)
∴a-+1=0,∴a=-
而a>0,∴a无解。
(3)当a<0时,y=-ax-1(分四种情况)
①A、B异侧(一):
6a+4>0
-3a-4+1<0
a>-,Qa<0
∴-<a<0
△AP1D△BCP1(AAS)
∴P1为AB的中点
∴P1(,)
∴a=-满足。
②A、B异侧(二)(A在l上侧,B在下侧)
6a+4<0
-3a-4+1>0
Qa>0,∴不会出现此种情况。
③A、B同侧,A、B均在l的上方
6a+4>0
-3a-4+1>0
a无解,故不会出现此种情况。
④故A、B均在l的下方,且A、B到l的距离相等。
∴A、B所确定的直线l1,lpl1,∴kAB==,k1=-1,
∴a=-。
综上所述:a=-或者a=-。