让初中数学教学在学生动手过程中生效

让初中数学教学在学生动手过程中生效

万仁校

万仁校

（富阳市东洲中学，浙江杭州311400）

《全日制义务教育数学课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”，“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。有效的数学学习活动不能单纯地依靠模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学教师在课堂教学中要引导学生既动手又动脑，在动手中得到经验和知识，在动脑时提高思维水平，做一名“从做中学”的实践者，使学生学得更加有趣，学习效率更高，学习效果更好。

一、精心组织动手内容，让学生在优化设计中演绎精彩

空间概念是很多学生的学习难点，因此，在教学中增添一些可以让学生自己动手的教学设计，可以降低学生理解的难度，调动学生探究的积极性。

[案例]：包装盒如下图所示。为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样。（1）如图给出的三种纸样，它们都正确吗？（2）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸；（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积（侧面积与两个底面积的和）。

由特殊的直四棱柱———立方体的表面展开图，到一般的直四棱柱———长方体的表面展开图，学生的认知自然地有正迁移，所以第一问的解决对学生而言是容易的。第二问的解决要求学生先独立分析“应该标注哪些尺寸”，然后电脑演示标注过程，强调标注应做到规范合理。

[点评]：由于在这套教材体系里，学生是第一次接触空间立体图形与平面图形的相互转化，因此，考虑到本节内容自身的数学特点，以及学生学习数学的心理规律，教师在教学中应该强调从学生已有的生活经验出发，充分重视数学过程，提供足够的操作与交流的空间，启动学生自己“动手”的平台，有利于学生经历观察、猜测、尝试、推理、体验、交流、反思等活动，从而帮助学生建立初步的空间观念，培养他们的空间想象能力。

二、巧妙导入动手内容，让学生在兴趣盎然中亲近数学

兴趣是主动学习的动力。教师在课堂设计中要善于从生活中挖掘课程资源，联系实际创设问题情境，开展有意义的数学实验活动，激发学生的探究兴趣。在进行“三角形的内角和”的教学时，设计了这样一个实验：

先出示问题，提出猜想。猜想是数学思维的一种重要形式，纵观数学发展史，很多的问题是从猜想开始的，如歌德巴赫猜想、欧拉猜想、四色猜想等，它是解决数学理论自身矛盾和疑难问题的一条有效途径，它作为一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要方法。伟大科学家牛顿就这样说过：“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。”在中学数学教学中，我们也可以引导学生大胆地猜想，发挥学生的课堂主体作用，使学生在学好知识的同时，又能培养发散思维能力、开拓创新能力。教学中鼓励学生猜想，有着很重要的意义。

[案例]：某单位需一大型模板如图1所示，设计要求是：BA与CD成30°，DA与CB成20°，假如你是质检员，你将通过怎样的检测方法来检查模板是否合格？

学生很快就想出分别延长BA、CD交于点E，延长DA、CB交于F，若量得∠E=30°和∠F=20°，那么这块模板是合格的，否则就是不合格的。马上就有学生提出不同意见，指出这是一块大型实物模板，不是几何图形，没法用上述方法检验。这里只能量得∠A、∠B、∠C、∠D的度数，也就是说要利用它们的度数计算出∠E、∠F的度数。[点评]：本例以实际问题切入，创设了具有现实性、趣味性和挑战性的数学实验，学生亲身参与观察、操作、想象、推理与交流等知识的建构过程，深刻认识到三角形的内角和的性质，品尝到主动学习的乐趣，激发了学生强烈的好奇心和探究意识，对学习产生浓厚的兴趣。

三、积极导入动手内容，让学生在情趣创意中触摸概念

数学概念的合理建构是有效教学的基础。建构主义者认为，教师的讲解并不能直接将知识传输给学生，教师只能通过组织者、合作者和引导者的身份，促使学生主动参与到整个学习过程中去。在数学学中常常发现，一些学生对数学概念的本质属性认识不深刻，往往是知其然而不知其所以然。出现这种状况的根本原因是学生在学习中并未理解数学概念的真正含义。

[案例]：在“圆的定义”教学中，笔者发现学生经常将圆和圆面混淆起来，以为“一轮红日、十五的月亮”就是圆在现实生活中化身，为此设计了这样一个数学实验：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端缚一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，那么铅笔在画板上就会画出一个圆来。

[点评]：经过师生交流互动，学生发现圆其实是一条封闭的曲线，而不是生活中的一个圆面，这既加深了对“圆的定义”的理解，自主构建圆的概念。同时，还领悟到圆周长就是构成圆的那条曲线的长，圆面积就是圆所围成的那部分图形的面积。因此，在概念的建构过程中设计合理的数学实验活动，可以加深学生对概念的理解和掌握。

四、积极激活动手内容，让学生在思维碰撞中闪亮错误

纠错是突破思维障碍的有效途径，而数学实验有助于突破思维障碍。建构主义学习理论认为，学生的数学学习应该是活的、动态的、开放的、表现多维的、并非绝对正确的数学活动的结果。学生在学习数学时常常会出现一些规律性的错误，这些错误不是由疏忽或无知造成的，相反，学生在出现这种错误时，往往对自己的所思所想所做有清醒的认识，并认为自己的推理判断是完全正确的。现代研究表明，许多被认为不小心而造成的错误，其实是由系统性的错误应用或错误推广所导致的，是一种“程序性错误”。

[案例]：（a+b）2=a2+b2,等，是对分配律的滥用，

其根源在于不恰当的“一般化”，是学习者把先前所学到的知识和方法作了不恰当的推广。为突破这一思维障碍，我们应在学生将已学到的知识推广应用到新的、不熟悉的环境的过程中，设计合理的数学实验，引导学生对新知识进行合理的建构，加强数学思想方法的理解和运用，提高学习能力。在“完全平方公式”教学时，设计这样的数学实验：

（1）出示问题，提出猜想。根据学过的（ab）2=a2b2，2（a+b）=2a+2b，于是猜想（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2也成立。你认为对吗？请你用适当的方法加以验证。结果学生的猜想各不相同，马上就有同学提出用特殊值代入等式两边进行验算，再下结论。

（2）检验猜想，发现错误。取特殊值进行检验：ab（a+b）2a2+b2数值从表中学生发现：（a+b）2≠a2+b2，原来的猜想是错误的。

（3）纠正错误，完善猜想。通过上述探究，你认为运算（a+b）2的运算结果是什么？你是如何验证你的猜想的？[点评]：通过上述实验活动，为学生提供学习中相关的错误案例，经历“犯错———纠错———犯错———纠错”的过程，先行切断错误知识的生长点与新知识的非实质联系。知识的推广与迁移是数学学习的重要策略，但并不是所有的知识经验都能推广应用的，需要通过检验。这样学生就能将接受到的知识内化为自己的知识，深刻体会特殊与一般、归纳与猜想、合情推理与逻辑推理、数形结合等数学思想方法，使学生思维更深刻、更发散、更合理。

五、深度挖掘动手内容，让学生在智慧喷发中催生创新

开启学生创新思维是有效教学的目标，数学实验有利于开启学生创新思维。从学生认识发生、发展的规律来看，学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动。数学实验就是用动手实践的方式呈现数学知识与数学思想方法产生和发展的过程，用“做数学”的方式暴露学生自己的思维活动，实现数学的“再创造”，感受数学的力量，促进数学的有效学习。

[案例]：在《截一个几何体》的教学中，设计了这样一个数学实验：

猜一猜。学生用准备好的学具截正方体前，猜想截面形状可能是什么形状，可能是三角形吗？可能是长方形吗？可能是梯形、五边形、六边形、七边形吗？为什么？

做一做。用一个平面去截一个几何体，①使截面形状是三角形；②使截面一定是长方形；③使截面形状是梯形；④怎样使截面形状是五边形、六边形或七边形呢？你是怎么做的？

[点评]：数学教学离不开数学实验教学。著名数学家和数学教育家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，是一门系统的演绎科学；另一方面它是创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”这就要求数学教学既要充分体现它的形式化和抽象化，又要重视数学发现和创造过程中的具体化和经验化，使学生的思维更加发散，更加严密。

六、活化数学动手内容，让学生在灵动心智中对接生活应用数学知识解决实际问题,是数学教学的出发点和归宿。发展学生的应用意识是数学教学的重要目标之一。通过数学教学，帮助学生树立数学应用意识是素质教育的一项重要任务。这就要求教师必须创设一种实验环境，使学生能受到必要的数学应用的实际训练，否则强调应用意识就成为一句空话。[案例]：学校每年要举行运动会，运动会后结合“一元一次方程的应用”一节内容编了这样一组应用题，作为拓展训练。

1.在校运会1500m长跑运动场上，起跑5分钟后，甲运动员比乙运动员多跑了一圈（假设本校操场一圈为200m），假设两人的速度不变，甲比乙早多少时间到达终点？此时乙离终点还有多少米？

2.在3000m长跑比赛中，运动员乙的速度是每分钟80米，运动员甲的速度是乙的2倍，现在甲在乙的前方50米处，问：几分钟后甲乙两人相遇？他们会第二次相遇吗？全程比赛中他们一共有几次相遇？

表面上看题目是行程问题中的“相遇”题型，学生根据与实际生活相联系，分析出实际上是“追及”题型的应用题。这些应用到的数学知识虽简单，但与实际生活紧密联系的却并不多，通过实验，使学生领悟到跑道上也蕴含着丰富的数学知识。这样不仅能够激发学生学习数学的兴趣，还能激励学生多把数学知识应用于生活。

[点评]：学生在实验情境中的“做”中学，对知识形成过程，对问题发现、解决、引伸、变换等过程的实验模拟和探索，这种实验式的教和学拓宽了学生的思维活动空间，使他们的思维更有深刻性和批判性。

数学实验是学生通过动手实践去探究、发现、思考、分析、归纳数学问题的活动。数学实验是把抽象的数学活化为一种灵动的验证，是课堂有效教学的重要手段。在教学过程中，呈现数学知识与数学思想方法的产生和发展过程，有利于激发学生学习兴趣，有助于数学概念的建构，有助于教学难点的突破，有利于开启学生创新思维。