谈谈数学思维的优化

谈谈数学思维的优化

杜太森

息县第一高级中学杜太森

数学能力的重要一个方面就是思维方法的优化。由一个具体问题抽象为一个数学模型，在模型的框架内解决一般的数学问题，灵活的去运用数学知识去解决问题，这是提高数学思维能力不可缺少的过程。哪位教师在这方面引导的好，哪位学生运用的好，他的数学素养和能力是强的。换句话说，没有这样的思维形式，是不可能成为数学高手。我在教学中始终有意识地在此方面引导学生，通过长期渗透和训练，确实培养了学生的数学素质及能力。下面仅举一例说明在课堂教学中是如何培养学生的这种数学思维的。

在排列组合中有这样一道大家熟知的题目：4封信往3个信箱投，共有多少种不同的投法？此题的愿意是考察乘法原理的应用，在老师的引导下，学生还是容易接受的。具体解法是：每封信都有4种投法，分4步，每步投一封信，只有4步都完成这件事情才算完成，由乘法原理可知，共有投法34=81种。当然为了加深对此方法的理解，还可以把问题改变为：3封信往4个信箱里投，共有多少种不同的投法？通过学生思考得出结果为43=64。通过两者比较对解决这种问题有了一定的理解。但我想，这样的层面还不够高，数学味道还不够浓。因此我就把这类问题抽象为纯数学问题———映射的个数问题。建立了数学模型。下面在引出实例：集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，问从集合A到集合B的映射有多少个？这个问题所在时刻思维情境最浓。由前面的思考过程可以看出，每一种投法就对应找从A到B的一个映射，因此有多少种投法就有多少个不同的映射，因此共有映射34个。另一方面，从B到A的映射的个数就是上面的第二个问题，共有43个。此例的引入，我认为有两个重要作用：一是很好地理解了映射的概念。我们知道，映射是学生最不容易理解的概念之一，而在此过程中，前面的实例实际上就是给映射概念的讲授创设了很好的问题情境，因此学生接受起来很自然、易理解。同时两个实例的对比使学生对映射概念的理解更深了。二是把一个具体问题一般化、抽象化，演绎成一个数学模型。这种意识是数学学习必不可少的，是学好数学的关键。这样就使得我们能够在高观点下处理问题，可以把相关问题归纳到这个模型中来。这是很好的思维习惯，这样才真正达到了数学由“死”到“活”的境界。在此基础上我又把此类问题进行改编和拓展。

拓展1：四封信投入三个信箱，每个信箱至少一封信，问有多少种投法？马上提出两个问题：本问题与最初讲授问题有何不同？若用映射的形式怎样表达？这时就给学生很大的思考空间。问题情境的创设也很到位。由分析可知，原问题中可以把4封信都投入一个信箱，而本问则不同。由分析可知，此题要求一个信箱有两封信，另两个信箱各有一封信，因此排法共有CA=36种。再抽象成映射语言（让学生回答）。通过几次修正，最后达到一致，即：A中有4个元素，B中有3个元素，A到B的映射中B中每一个元素都有原像，共有多少种不同的映射？这样才真正达到对学生数学语言的表达能力，从而提高了学生的思维层次。，达到里应用数学的目的。

扩展2：集合A=B={1，2，3，4，5}，问A到B的映射中，恰有三个元素与其自身对应，这样的映射有多少个？能否演变成一个实际问题？请描述一下？思考的本质是：哪三个元素与其自身对应。这样就变成从五个元素中取出3个，共有C种排法，然后A中其它两个与B中其它两个元素进行排列，都不能和其自身对应，共有1种排法，因此共有排法C=10种。现改编成实际问题为：编号为1，2，3，4，5的五个不同的球，投入到编号分别为①，②，③，④，⑤的五个盒子中，恰有3个球的编号与盒子的编号相同，共有投法多少种？

解题思维的优化，解答思维链条的简缩，需要我们不断的反思，不断的争鸣，不断地总结，问题生于疑，疑难解于思，只有用思想去学习，去领悟数学里的奥妙，才能获得比较好的学习效果。