魏跃军
摘要:本文结合具体的例题对解析几何“定点”问题的解答策略进行了分析和探讨。
关键词:解析几何;定点;求解策略
作者简介:魏跃军,任教于江苏省扬州市红桥高级中学。
解析几何是历年高考的热点,近三年江苏高考卷上基本呈现稳定的态势,三年都是在解答题第四题位置进行考察,综合性较强.是整张试卷区分度最大的解答题,入手容易但计算量大,所以成了大部分学生在高考中的心理障碍。另一方面从题型来看,三年都是考察的动曲线过“定点”问题。
解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点,由于这种问题涉及面广、综合性强,因此不少同学常常因解题方法选择不当,而导致解答过程繁难、运算量大,从而半途而废,甚至于许多同学无从下手,本文结合自己多年的教学实践,通过一些实例来谈谈解这类问题的常用方法。
例题1:(08年江苏高考题)在平面直角坐标系中,记二次函数()与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆的方程;
(3)问圆是否经过定点(其坐标与的无关)?请证明你的结论.
解:(1)(2)问略解如下:(1)b<1且b≠0;(2)C的方程为。
(Ⅲ)圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点,将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为(*)
为使(*)式对所有满足的都成立,必须有,解得或,经检验知,点均在圆C上,因此圆C过定点。
说明:(1)上述解法是解决曲线恒过定点问题的常用策略,可以归纳为三步骤:“一选,二理,三求”,即第一步:选择参变量(引起动曲线变化的参变量,不妨设为),第二步:按照参变量将曲线方程整理成的形式,第三步:就是通过求解方程组,求的定点坐标。该解法是利用方程恒成立,化“动为静”,转化为为曲线和的交点问题。
(2)这类问题也可以通过“先特殊,再一般”的思路进行解决,即:先不妨假设(*)式中分别取值0和,通过方程组,求得交点,经检验知,点均在圆C上,因此圆C过定点。
这种对参变量b的特殊实质是化“动为静”,通过静态的图形特征的发现,类比联想到动态的图形特征,再加以验证,从而达到解题的目的。
例题2:(09年江苏高考题)在平面直角坐标系中,已知圆和圆。
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
解析:(1)或
(2)本题利用三步骤可以很快求得定点P的坐标为或,难度在于“无穷多对互相垂直的直线和的理解”。
例题3:(10年江苏高考题)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过轴上的一定点(其坐标与m无关)。
解析:(1)。(2)点T的坐标为。
(3)由题意知点T的坐标为,则
直线MTA方程为:,即,
直线NTB方程为:,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:、。
当时,动直线MN的方程为:(﹡)
说明:据了解绝大部分同学解题在此受阻,按照常用策略,下面需要按照参变量进行整理,显然比较难以实施。但是考虑到本题是求证:直线MN必过轴上的一定点,可以考虑如下的解法:
方法一:令(﹡)中,解得。此时必过点D(1,0);另一方面当时,直线MN方程为:,与轴交点为D(1,0)。所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
方法二:(先特殊,再一般)先考虑的情况,求得与x轴的交点,再进行检验。
解:若,则由及,得,此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。若,则,直线MD的斜率,直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。
注:先特殊可以是对参变量特殊,也可以是对曲线位置的特殊。
总之,在动曲线的性质的探究中我们要注意“动静结合”,合理选择解题入手点,降低解题的运算难度,提高解析几何的“定点问题”的得分能力。
作者单位:江苏省扬州市红桥高级中学
邮政编码:225108
Problem-SolvingStrategiesfor“FixedPoint”ProblemsinAnalyticGeometry
WEIYuejun
Abstract:Thispaperanalyzesanddiscussesproblem-solvingstrategiesfor“fixedpoint”problemsinanalyticgeometrybasedonspecificexamples.
Keywords:analyticgeometry;fixedpoint;problem-solvingstrategies