巧用转化思想轻松解题

巧用转化思想轻松解题

周自如

关键词：数学；解题；转化

作者简介：周自如，任教于广西鹿寨县鹿寨镇二中。

转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题即意味着转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维。因此，学生学会数学转移，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题、分析问题和最终解决问题。熟练运用转化就能轻松解题。下面谈谈解题中常见的基本转化类型和转化方法：

一、常见题型的转化

利用熟知的数学知识，采取迂回战术或间接求法解决问题。

1.求代数式的值，运用转化思想

已知：

解析：此题直接求x-的值不易，故利用乘法公式的恒等变形，转化为先求该式平方的值，再通过开平方可求出问题的答案。

2.求角的三角函数值，运用转化思想

有时，有些角的三角函数值不能直接求得，我们要用转化。

例如，已知：如图，在△ABC中，AC、BC边上的高BE、AD交于点H，AH=3，AE=2。求tanC的值。

解析：此题解题思路为先证得∠C=∠AHE，然后在Rt△AHE中求出tanAHE的值，从而求得tanC的值。

3.求图形的面积，通过割补，实现转化

我们已能熟练求三角形、特殊四边形、圆等图形的面积，在求不规则图形面积的时候，常常可以通过割补法，把它转化为易求图形的面积来求。

如图，边长为4的正方形ABCD和边长为6的正方形OEFG叠放在一起，且O为正方形ABCD的中心，求重叠部分(阴影)的面积。

解析：连接OB、OC，易证△OBM≌△OCN，则S△OBM=S△OCN，这样阴影部分的面积等于△OBC的面积，就把求阴影部分的面积转化为求△OBC的面积了。或者作OH⊥BC于点H，作OP⊥CD于点P，易证△OMH≌△ONP，则S△OMH=S△ONP，这样阴影部分的面积等于矩形OHCP的面积，就把求阴影部分的面积转化为求矩形OHCP的面积了，这容易办到。

4.运用转化，求线段的长度

有时遇到的线段长度不易直接求出，而可证得它与另一线段相等，另一线段长度又可求，这样就把求该线段的长度转化为求另一线段长度。

例如：如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F，AD=2，⊙O的半径为3，BE=2，求CF的长。

解析：这题不易直接求出CF的长，但可证得CF=BF，而BF的长度可通过证△ABD∽△FBE，它们的对应边成比例来求出，这样就把求CF的长度转化为求BF的长度了。

实际上，我们常见的很多数学题的解题都是在实现转化的过程中完成的。

二、生疏问题转化为熟悉问题

数学题目成千上万，我们不可能全部做遍。生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。细心观察，运用过去所学的知识，能将生疏问题转化为熟悉问题，避免对新问题产生心理障碍，这样做常可得到事半功倍的效果。

例：已知两圆内切于T，过T点的直线交小圆于A，交大圆于B，求证：TA：TB为定值。

分析：定值？是多少？这是一个生疏的问题。过T点的直线绕T旋转形成无数个不同的位置，其中过T的直径每个圆只有一条，要证TA：TB为定值，先将直线TAB过圆心，这时TA’：TB’=r：R，过T点任作一直线交小圆于A，交大圆于B，连接AA’、BB’，即可把要求解的TA：TB为定值转化为证明三角刑相似或证明平行线对应线段成比例。

三、难问题转化为易问题

有时遇到难度大的问题，可以利用一些技巧，或者根据一些规律，或者借助图形来帮助我们轻松解答。如下题：

计算：

解析：这题如果按照常规方法计算括号里面的和，难度大；如果借助图形，则很容易算出结果。

如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，如此继续等分下去……。然后仔细观察这个图形，就可以利用这个图形所揭示的规律完成该式的计算。

四、实际问题转化为数学问题

在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，再利用数学知识解答。这一转化思想在应用题中用得最多，常常通过建立方程或函数式来解答。另外在一些数学题目中，把已知条件用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是转化为数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释原问题。这样的题是很多的。

例：一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求它的边数n。

解析：这是一个很简单的问题。把条件“一个多边形的内角和等于外角和的2倍”用数学式子(方程)(n-2)×180=360×2表示出来，解此方程，可得答案。

五、数与形的转化

数与形的转化是数学思想中很典型的一种，通过“数”与“形”的相互转化，能将复杂或抽象的数量关系，直观形象地翻译出来，便于加深理解。

在函数问题中，这一思想体现得很充分。例如：函数y=kx+b，y=k/x，y=ax2+bx+c与它们的图像之间的对应关系，以及字母系数k、a、b、c在图中的几何意义。而在有关解题中，把数量关系转化为图形关系，解题就很轻松。如下题：

如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1，0)，B(3，2)。

(1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)求不等式①x2+bx+c＞x+m，②x2+bx+c＜x+m的解集。

解析：对于(2)题，可把不等式的数量关系转化为图形关系，根据图形直接求得①的解集为x＜1或x＞3，②的解集为1＜x＜3。

在实际问题中，有时借助图形来帮助分析，会更直观、清楚。例：甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地反回乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/时，求两人的速度？

分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，借助图形来分析，就直观、清楚了，A、B所走的路程可用如下图形表示：

由图形可以清楚地看到，A、B两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：

A走路程+B走路程=23×3，

如果设B每小时走x千米，则A每小时走(x+3)千米，由于两人途中都停留了一段时间，A实际走(5-1/3)小时，B实际走(5-1/2)小时，由此就不难列出方程。

综上所述，数学转化思想是中学数学教学中最活跃、最实用的。我们在教学中应注意对这种方法进行提炼、整理，重视解题思路的概括，这对学生各种思维能力(包括数学转移能力)的提高是有益的。

作者单位：广西鹿寨县鹿寨镇二中

邮政编码：545600