投影变形与控制网相邻点中误差的关系研究

投影变形与控制网相邻点中误差的关系研究

邱桂芳1石邱宇2

1.天津铁三院实业有限公司300251；2.天津市木斋中学300142

摘要：投影长度变形是工程建设中坐标系设计考虑的根本技术指标，是关系设计工程能否正确进行勘察设计和建造的关键；控制网相邻点相对精度是控制工程现场数据采集和施工放样准确的基准，二者的精度设计应协调合一。

高速铁路线路在勘测设计阶段首先要进行控制测量工作，由于在线路控制测量过程中，每条线路所在测区的位置不同且距离不可能很短，有的可能跨越一个投影带，两个投影带甚至更多，所以，在高速铁路线路控制测量中，投影长度变形很容易超限，这就需要我们采取一定的措施来使投影长度变形减弱，将投影长度变形控制在允许范围之内。最有效的方法就是建立与测区相适应的坐标系统。这只解决了坐标系统与工程的设计对应关系，还需要在实地建立起与之相适应的精度合理的控制网，才能满足设计工程的现场实施。

1椭球面与投影变形

地球自然形体是一个不规则的几何体，地球自然表面很不规则，有高山、平原、丘陵和海洋，其中最高的珠穆朗玛峰高出海平面8843.43米，最低的马里亚纳海沟低于海平面11022米，但这样的高低起伏对于地球半径6371km来说还是很小的，再顾及到海洋约占整个地球表面71%，因此人们把海平面所包围的地球形体看做地球的形状。

地球椭球体是一个非常接近大地体，用数学式表示几何形体，作为地球的参考形状和大小，它是一个椭圆绕其短轴旋转而形成的形体，其外表面称作椭球面，是地球的数学表面，是球面坐标系和测量内业的标准。

椭球面是一个凸起的不可展平的曲面，如果这个曲面上的元素（距离、方向、角度、图形）投影到平面上，必然同原来的对应元素产生差异，这一差异称之为投影变形，分别为长度变形、方向变形、角度变形和面积变形。在地图投影中，投影变形是不可避免的，但是可以根据需要来掌控它，使得某种变形减弱或为零，而其他变形最小。

2影响铁路工程的投影变形

高速铁路坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其上的，因此坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题。对于线路工程而言，使投影长度变形控制在允许的精度范围之内是建立独立坐标系统主要解决的问题，因此独立坐标系统的建立主要是根据线路的长度和所在测区的不同而建立与本测区和线路相适应的坐标系统，从而使其投影长度变形控制在允许范围之内。所以说，长度投影变形是铁路工程主要关注的变形。

变形是一种测量误差，测量误差分为偶然误差、系统误差和粗差，是伴随测量工作的不可避免的误差源。系统误差的定义为：在重复性条件下，对同一被测量对象进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果观测误差的数值大小和正负号按一定的规律变化，或保持一个常数，这种误差称为系统误差。

系统误差产生的原因：（1）由于仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如仪器本身的精度；（2）由于本身所依据的理论、公式的近似性，或者对条件、测量方法的考虑不周也会造成误差；（3）由于测量者的身体特点，每个人的身体状况都不一样。例如，在司镜的过程中每个人观测的结果都不一样。

系统误差的特点：（1）系统误差的大小（绝对值）为一常数或按一定规律变化；（2）系统误差的符号（正、负）保持不变；（3）系统误差具有累积性，即误差大小随单一观测值的倍数累积。系统误差有些是定值的，有些是累积性的，需要注意的是，系统误差总是使测量结果偏向一边，或者偏大，或者偏小，因此多次测量求平均值并不能消除系统误差。

系统误差消除的方法：系统误差对测量结果的影响，可以通过分析找出规律，计算出某项系统误差的大小，然后对观测结果加以改正，或者用一定的观测程序和观测方法来消除系统误差的影响，把系统误差的影响尽量从观测结果中消除。

投影变形属于系统误差，从投影变形的产生机理上分析，投影变形符合上述系统误差的定义、产生原因、特点、消除方法中描述的多个方面。从定义上，投影变形数值大小和正负号按一定的规律变化，产生的原因是由于投影变形所依据的理论、公式的近似性造成的。投影变形的特点具有累积性，即变形大小随单一观测值（高程和横坐标自然值）的倍数累积。投影变形的消除方法是通过分析找出高程归化和高斯投影改化的变形规律，计算出投影变形值的大小，然后对坐标系统加以改正。投影变形对工程施工的影响呈系统性。

投影变形是球面（或者说椭球面）上的距离变换到平面上的距离的变形值，是一种数学模型变形。控制了投影变形值（高铁一般以10mm/km设计控制，普铁以25mm/km设计控制，一般城市坐标系或市政工程坐标系以25mm/km设计控制，城市轨道交通工程坐标系以15mm/km设计控制）的平面直角坐标系，一是可以满足现场实际测量的边长和设计图纸上的边长差值控制在设计要求内，二是可以满足设计图上的设计对象和布设的控制网点之间（一般几十米到几百米）的差值控制在设计要求内。

3控制长度变形的意义

首先要从测量中的坐标系谈起。大地测量中的坐标系分为空间直角坐标系（X,Y,Z）、大地坐标系（B,L,H）和平面直角坐标系（x，y）+高程（h），而平面直角坐标系+高程的坐标表示形式是工程测量、大地测量等中广泛采用的坐标系统。将空间直角坐标系和大地坐标系转换成平面直角坐标系，就必然存在投影变形，只是采用的投影方式不同投影变形的形状和大小不同，也可以说这种变形是现今理论水平下的数学模型误差，是避免不了的（函数模型的规定条件除外，如高斯投影的中央子午线的投影变形比例为1）。测量上常以投影变形不影响工程需求为条件选择投影方法。

从勘测阶段分析，目前使用GNSS-RTK或全站仪采用坐标法在实地现场放样，在设计了控制投影变形的工程独立坐标系的控制网和设计对象建立了尺度和相对位置依附关系。尺度可以保证设计的距离以规定的投影变形放设在实地，相对位置依附关系可以保证设计对象和控制网以规定的投影变形建立相对关系（也即保证设计对象的平面位置满足设计对象点与最近控制网点的投影变形关系）。

4控制网的相邻点的相对精度是测量偶然误差

相对误差是中误差与观测值之比，它是一个无量纲数，测量中通常表示为1/M。一般在长度观测值中使用，如相对闭合差或相对容许误差。是测量误差中偶然误差。

控制网的相邻点的相对精度（一般以相邻点相对点位中误差和边长相对中误差表示，也有只设边长相对中误差的技术要求）是控制设计对象的相对位置关系满足设计要求，简单的比喻是一把连接一把的有方向的尺子控制着图纸设计对象的现场相对位置关系。比如桥梁施工平面控制网测量的精度等级就分别规定了桥轴线边的相对中误差和网中最弱边的相对中误差，显然，桥轴线边的相对精度决定着跨河桥轴线是否能按设计规定的精度现场实现。

控制网的点位中误差和放样点位中误差共同控制着设计对象点与控制点的相对位置关系。

5结论

投影变形是系统误差，相邻点的相对精度是偶然误差。但要控制相邻点的相对精度，首先要控制设计平面坐标系的投影长度变形要小于相邻点的相对精度，才能保证坐标系和控制网的正确协调。