谈数学创新思维的训练

谈数学创新思维的训练

陈平生

陈平生

（福安市第二中学福建福安355000）

【摘要】在数学教学中培养学生的创新能力，要重视情境创设，激发创新意识；重视问题提出，扶持创新行为；重视能力挖掘，优化创新思维；注重发展学生的观察力，是培养学生创造性思维的基础提高学生的猜想能力，是培养学生创造性思维的关键；训练学生的辩证思维能力，是培养学生创造性思维的保证；炼就学生的质疑思维能力，是培养学生创造性思维的重点；重视解题教学，培养创新能力。

【关键词】创新；思维；能力；训练

Discussesmathematicsinnovativeideathetraining

ChenPingsheng

【Abstract】TraininginMathematicsTeachingstudentstheabilitytoinnovate,wemustemphasizethesituationcreatedtoinspireawarenessofinnovation;attentiontotheproblem,supportinginnovation;capacitytotap,andoptimizeinnovativethinkingemphasisonthedevelopmentofstudentobservationforthetrainingofstudentsraisethebasisofcreativethinkingStudentsguesstheabilitytotrainstudentscreativethinkingthekeytotrainingstudentsdialecticalthinkingability,creativethinkingistotrainstudentstoguaranteeLianquestionedthethinkingabilityofstudentstotrainstudentsthefocusofcreativethinking;importanceofteachingproblemsolving,traininginnovationcapability.

【Keywords】Innovation;Thought;Ability;Train

江泽民同志说：“创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”。一切创新依赖于具有创造力的高素质人才，创造型人才已成为维系国家未来和民族兴哀的关键。而创造型人才的培养，必须使我们的教育成为创新教育。

数学是基础教育的主要内容，它有着多方面的功能，但其核心功能最终必须定位在促进学生创新，为培养创新精神和创新人才奠定基础。在数学教学中如何培养学生的创新能力呢？本文结合自身教学的探索和实践，谈谈个人的一些做法，以求教于同行。

1.重视情境创设，激发创新意识

美国著名学者乔治·奥威尔指出：“科学不只是发生在实验室中的事，不只是一种知识体系，更重要的是，它是人们观察世界的一种方式”。如果我们只重视知识传授，而勿视科学思想、科学精神、科学态度及科学方法的培养，那将会使受教育者在处理问题方面缺乏科学的精神和科学的态度，很难有创新的意识。我们应十分重视学生的科学启蒙教育，培养学生的探索精神，充分利用课堂教学引入最新科学信息，激发学生兴趣，培养学生的创新意识，鼓励他们关注科学的发展和进步。

爱因斯坦说过，教育不是用“好胜心”去诱导学生的竞争心理，而是要用“好奇心”激励学生的科学兴趣。“好奇”是创新意识的潜能，是创新意识的萌芽，学生都有好奇、好问的探究心理，激疑不仅使学生迅速地由抑制到兴奋，而且还会使学生把知识学习当成一种自我需要。教师可以根据学生已有的认知结构，抓住学生思维活动的热点和难点，创设问题情境，引起学生内部认知矛盾的冲突，激发学生学习的欲望。这就对教师提出要求：要求教师在教授每节课内容时，根据教学内容设计出几个具有启发性问题，把学生引到问题的情境中去，使其去思考，探索正确的解题方法，寻找所学知识的内在规律性。例如，在进行有理指数幂教学时，教师可以引导学生开展零指数幂和负整数指数幂的底数取值问题；学习一元二次方程后，教师可以引导学生讨论其结果：在实数范围内的一元二次方程，如果有实数根那么最多只有两个。教师在讲解勾股定理之后，学生自然理解勾股定理的条件与结论，以及怎样应用，某些学生还会提出：吗？此时，教师要不失对机的给学生介绍费马大定理，以及英国数学空安德鲁·怀尔斯为了证明费马大定理所运用的科学思想，科学精神，科学态度及科学方法，以激发学生的好奇意识和创新意识，鼓励学生想天开，敢于幻想，大胆实践，帮助学生发现和思考问题，了解科学创造的思维方法。

教师在进行数学概念、法则、公式、定理教学时，要提出“是什么”“为什么”和“怎么样”的问题，加强学生对问题的理解；针对同一问题从不同的角度和方向提出问题，引导学生从不同的侧面理解，加深知识印象和应用已学的知识。学生探讨问题时，提出新颖的见解，对定理公式的推导证明等，即是学生在创造思维方面的一个反映。教师要及时设计富有挑战性和趣味性的问题，以激发学生创思维能力，在知识积累上有一个新的飞跃。

2.重视问题提出扶持创新行为

李政道教授对学生说过“最重要的是要会提出问题，否则做不了第一流的工作”。实践证明，不能提出问题就不可能善于思考，就不可能用批判的眼光去观察世界，就不会有创造性行为。在创新能力上从意识到实践的形成阶段，每个学生身上都是黄金和污泥混杂、阳光和阴影伴行、优点和缺点同在，因此，在数学教学中，要发展学生的个性，培养其创新能力，就得重视引导学生发现问题、提出问题，允许他们在一定范围内犯错误，改正错误，教师要学会正确地分析对待学生的“奇谈怪论和异常举止。”才能扶持他们的创新行为。

2.1鼓励“善问”。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题重要。”众所周知，提问是课堂教学常用的环节，但它不是教师的“专利”，教师要善于引导学生提出具有挑战性的新问题，要为创新作铺垫。上海大同中学特级教师巩长安在进行数列极限的教学时，学生提问：(a)e是怎样取得的？e为什么是无理数?(b)e的用途何在？(c)数列的极限为什么会存在？要回答这些问题并不很容易。教师经过耐心倾听，仔细分析，甚至运作了“单调有界数列有极限”这样的高等数学知识，才解答完学生的问题。在整个教学活动中，教师及时鼓励，调动每位学生的参与意识，让每个学生都获得成功的机会，都能享受到成功的喜悦。

2.2积极思考。上海市西中学在“一类数列的研究”时，教师指出。

问题1：已知数列是公比为q的等比数列，数列是何数列？数列又是何数列？

问题2：已知数列是公比为q的等比数列，数列为何数列？

教师的课堂教学中，当学生思考时，并不急于提供帮助，而有意给学生造成暂时失败感和短时焦虑，使学生的心理处于不平衡状态，这种不平衡状态促使学生注意力更加集中，从而激励学生运用内在潜能去自主探索，自主解决。

2.3改进教法。教师教学时可故意留漏洞，引导学生在“百密一疏”中发现问题，提出问题。实践证明，经常让学生辨析错解，有利于提高学生思维的敏捷性和批判性，有利于提高提出问题的能力。在课堂教学中，有时故意疑问，露点破绽，反而能促进学生认真听讲，使他们敢于大胆发现，敢于提出问题，更有利于他们对知识的理解和巩固。

2.4提供模型，引导学生从实际生活中提出问题。数学建模与数学问题解决正日益成为当前中学数学教学的热门话题。发现，提出并解决日常生活中的数学问题是学生良好的数学素质的体现，因此，数学教师应注意引导和鼓励学生利用课余时间，用数学的眼光去观察发生在身边的现象，然后成数学问题，如生活中的储蓄的利率问题、物价的涨跌问题，购物的容量问题、生产中的成本问题，合理用料问题、最佳决策问题等等。

老师可以提供模型，学生就可将其转化为数学问题加以解决。在教学中不但要善于引导学生从不同角度提出问题，而且要加强对主要创造性思维方法的训练，如：归纳、类比、联想、从特殊到一般或从一般到特殊等思维方法的训练，还应重视培养学生勤写善记的习惯。

3.重视能力挖掘，优化创新思维

创新能力是以创造性思维能力为基础的。创造性思维是人们创造性地解决问题而发明创造过程中所特有的思维活动，是一切具有崭新内容的思维形式的总和。它不仅能揭露客观事物的本质及其内在联系，而且可以产生新颖独特的想法，至少能提出创造性的见解。

3.1注重发展学生的观察力，是培养学生创造性思维的基础。

正如著名心理学家鲁宾斯指出的那样，“任何思维，不认它是多么抽象的和多么理论的，都是从观察分析经验材料开始。”观察是智力的门户，是思维的前哨，是启动思维的按扭，观察的深刻与否，决定着创造性思维的形成。因此引导学生明白对一个问题不要急于按想的套路求解，而要深刻观察、去伪存真、这不但为最终解决问题奠定基础，而且也可能有创见性的寻找到解决问题的契机。

例1、求的值

凭直觉我们可能从问题的结构中去寻求规律性，但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性，而深刻地观察、细致的分析，克服了这种思维弊端，形成自己有创见的思维模式。因此，在解题教学中，应注意引导学生对数学问题进行整体观察和整体思考，从客观上进行整体分析，抓住数学问题的整体结构和本质特征，从思维策略的角度总揽全局，进行大步骤思维，迅速作出直觉判断，从而确定解决问题的入手方向或总体思路，突破这种定势的干扰，最终发现出题中隐含的条件这个关键点，于是就能迅速地得到问题的答案。

3.2提高学生的猜想能力，是培养学生创造性思维的关键。

猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”在数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极指导、执情鼓励学生进行猜想，似真正达到启迪思维、传授知识的目的。

启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前”，“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒已见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系。让学生把各种各样的想法都讲出来，允许学生提出各种“异议”，启发学生进行多向猜测，多向思考，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维，引发猜想的意境，可以提出“怎样发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此类问题，组织学生进行猜想、探索，还可以编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目上，引发学生猜想的愿望、猜想的积极性。例如，数学归纳法应用举例：

平面内有几条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点个数等于，讲了之后在适时提出：如果例中的已知条件不变，那么几条直线把平面分成多少部分？于是有

问题1：平面内几条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，那么这几条直线把平面分成多少部分？

对于这种难度可先作试验，进行观察，综合运用比较，归纳，猜想、证明等方法，达到解题的目的。

令表示满足题设条件的n条直线把平面分成的块数，则由简单的试验知：

，，，，…等。通过对这些表达式观察、归纳、猜想到

而后用数学归纳法证明此结论的正确性是容易的（略）。

把例题中的平面改为空间，把n条直线改为n个平面，我们有

问题2：空间中n个平面，其中任何两个平面不平行，任何三个平面不过同一条直线，那么它们交线的条数又是什么表达呢？实质上仍有。

同样的把问题1中的平面改为空间，把n条直线改为n个平面就有：

问题3：空间内有n个平面其中任何两个平面不平行，任何三个平面不过同一条直线，那么这n个平面把空间分多少部分呢？

这个问题的结论是否和问题1结论一样呢？仍用不完全归纳法进行猜想。令表示满足题设条件的n个平面把空间分成的部分数，显然有，加上一个平面，它与前一个平面有一条交线，这条交线把新加上的一个平面分成两部分，每部分把原有空间又分成两部分，这样被划分的空间部分增加数恰好等于这个平面的部分数即有。在增加一个平面A，A平面前面两个平面相交两条交线，且这两条交线不平行，这样由问题1的结论知：这个A平面被划分成部分，每个部分又把它所在原有空间分成两部分，增加的部分数恰好等于平面被划分的部分数即。如此类推猜想有

。仍用数学归纳法证明（略）。这个问题在开展数学课外活动中让学生进行学习和研究，不仅提高了学生学习数学的兴趣，而且提高了研究问题的能力，又促进了创造性思维能力的发展。

3.3炼就学生的质疑思维能力，是培养学生创造性思维的重点。

质疑思维就是积极地保持和强化自己的好奇心和想象力，不迷信权威，不轻信直观，不放过任何一个疑点，敢于提出异议与不同看法，尽可能多地为自己提出与研究对象有关的各种问题。提倡多思独思，反对人云亦云，书云亦云。

例如，在讲授反正弦函数时，教者可以这样安排讲授：

⑴．正弦函数在其定义域上有无反函数？在它的定义域的一个子区间上有无反函数？为什么？

⑵在上，正弦函数不存在反函数，那么我们本节课应该怎么样研究所谓的反正弦函数呢？

⑶为了使正弦函数满足Y与X间成单值对应，这某一区间如何寻找，怎样的区间最佳区间，为什么？讲授反余弦函数时，在完成了上述同样的三个步骤后，我们可向学生提出第四个问题：

⑷反余弦函数反正弦函数在定义时有什么区别。造成这些区别的主要原因是什么，学习中应该怎样注意这些区别。

通过这一系列的问题质疑，使学生对反正弦函数得到了创造性地理解和掌握。在数学教学中为炼就与提高学生的质疑能力，我们要特别重视解题教学，一方面可以通过错题错解，让学生从中辨别命题的错误与推断的错误；另一方面，可以给出组合的选择题，让学生进行是非判断；再一方面，可以巧妙提出某命题，指出若正确请证明，若不正确请举反例，提高辨明似是而非的“是”以及否定似非而是的“非”的能力。

3.4训练学生的辩证思维能力，是培养学生创造性思维的保证。

辩证思维能力，是学生创造性思维能力培养与形成的最高层次。在数学中辩证思维是相当丰富的：相对与绝对、过程与状态、结构与功能、条件与结论、肯定与否定、归纳与演绎、比较与分类、分析与综合、有限与无限、连续与离散、一般与特殊、偶然与必然、共性与个性、具体与抽象、现象与本质、系统与要素。部分与整体、进与退、动与静、数与形……因此，在具体教学中，我们一定要引导学生认识到数学作为一门学科，它既是科学的，也是不断变化和发展的，它在否定、变化、发展中筛选出最经得住考验的东西，努力使他们形成较强的辩证思维能力。也就是说：在数学教学中，我们要密切联系时间、空间等多种可能的条件，将构想的主体与其运动的持续性，顺序性和广延性作存在形式统一起来作多方探讨，经常性的教育学生思考问题时不能顾此失彼，挂一漏万，做到“兼权熟计”。这里，特别是在数学解题教学中，我们要教育学生不能单纯的依靠定义，定理，而是吸收另一些习题的启示、某个单元、章节或某些解题方法规律的总结，培养学生的辩证思维能力。

例2：（动与静）.已知正三角形ABC的边长为2，点A在正X轴上移动，点B在450角终边上移动，求顶点C到原点的最大距离（如图1）

解：利用动与静的辩证关系，把三角形ABC看成固定不动的，而让坐标系运动。即原点O为动点。那么，点O的轨迹是以AB为弦，位于点C异侧的含450角的弓形弧（如图2）

记S为弓形弧所在圆的圆心，则CS垂直平分AB且∠CSA=45°，DC=，SD=AD=1，OS=AS==，当O，S，C三点共线时，OC最大，OC=OS+SD+DC=1＋+。

4.重视解题教学，培养创新能力

在习题教学中，不仅要引导学生学会运用常规的方法，而且要鼓励学生运用非常规的，别出心裁的，从边缘入手的方法。F—克莱因常常对学生讲：“用新方法来解决问题，可以推动纯粹数学的发展，当我们对老问题有了更好的理解，自然就会提出新问题。”从而培养学生勇于探索，大胆开拓的学风，使其在解题之后能继续思索以提出问题或变换问题，来探求更多更新的解题途径。常用的方法有一题多解，一题多变和编拟新题等。

例3．已知不等式的解是求不等式的解集。

此题的关键在于求出m、n的值，我们可引导学生观察该数学公式的结构与规律，力求把所学的知识尽最联系，仅就m、n的值归纳出：

解法1：把不等式看成方程利用韦达定理有促进思维横向活动。

解法2：利用二次函数的图像（如图3）令的解是，可知，由

推算出m.n的值，这种数形结合方法很好。

解法3：由不等式的解，有，因此，对应项系数成比例有，这是根据等价不等式的可逆性，促进逆向思维。

习题教学中，不仅要注重习题的挖掘引申，更须对小题进行推广拓展，让学生学会从特征问题中，通过归纳，综合得出一般性结论，这是一种重要的科研之道，是新世纪数学教学的一个重要取向，是培养学生创造性思维的必由之路。

例4试把平面几何中的三角形内角平分线定理、推广到四面体中，将有哪些结论？

问题一提出，学生兴趣盎然，有的学生张口而出，进而一想又摇摇头，学生处于“心欲求而未得”、“口欲言而又不能”的境地，此时，我们找准学生思维的激兴点，巧妙点拔，先提出下面两个问题：⑴四面体中每个二面角的平分面与其对棱相交吗？⑵每个二面角中，四面体的两个面的面积比与分对棱所成的线段有什么关系？

学生经过类比、联想、探索、转化、很轻松地得到：

推广1：四面体中任意一个二面角的平分面分其对棱所成两线段的比等于该二面角的两个面的面积之比。

在学生思维活跃之时，趁热打铁，引导他们作更深入的推广，将三角形中一个角的两边换成两个三棱锥的体积，在推广1的基础上，通过分析、探讨，学生很快就得到：

推广2.三棱锥S—ABC中，CD是△ABC中∠C的平分线，则。

继续启发，在三棱锥的三个侧面中，分别运用平分线定理又可得到什么结论？通过猜想，探讨和推证，有学生得出：

推广3.三棱锥S—ABC中，SD、SE、SF分别为三个侧面三角形的一条角平分线，则有。

这样，教师通过循循善诱，由浅入深，由表及里，由特殊到一般，层层加码，步步深入，促使学生不迷恋于表面现象，而是透表求里，自觉意识到从本质上看问题，从而杜绝就题解题，浅尝辄止的不良现象。

为此，担负中学重要学科教学任务的数学教师，要在教学中积极启动创新思想，通过典型例题，引导学生推广探究；通过新知识，引导学生求新探究，通过快捷思维训练，引导学生直觉探究；通过一题多解，引导学生求异、求巧探究等途径，以培养学生的创新能力。

“文明的历史，基本上乃是人类创造能力的记载。”阿斯本用这样一句简单的话，表明了人类创造能力的重要性。因此，无论在培养高素质的劳动者和专业技术人才方面，还是在提高创新能力和提供知识、技术创新成果以及增强民族凝聚力方面，创新教育都具有独特的重要意义。

参考文献

[1]张金宏《谈数学教学中创新意识的培养》

[2]段志贵《创造性思维与数学教学》

[3]冉龙彬《浅谈数学教学中促进学生的思维活动》

[4]欧岳云《例谈中学数学中的创造性思维训练策略》

收稿日期：2008-04-07